Residui e sviluppi di Laurent

Buongiorno
Ho un dubbio riguardo un esercizio: devo calcolare il residuo di $ f(z) = 1/(z^2-3z+2) $ in $2$ determinando il coefficiente di $(z-2)^(-1)$ negli sviluppi di Laurent nelle corone circolari $ abs(z-2)<1$ e $ abs(z-2) >1$.
Per quanto riguarda la prima corona, considerando $f(z) $ come $ - 1/(z-1) + 1/(z-2)$, centrando in 2, ho ottenuto $f(z) = 1/(z-2) + sum_0^(+infty) (-1)^n (z-2)^n$, per cui il residuo in 2 è 1.
Sviluppando nella seconda circolare, però, ho $f(z) =1/(z-2) + sum_0^(+infty) (-1)^(n+1) (z-2)^ (-n-1)$, quindi il residuo sarebbe diverso. Perché?
Grazie in anticipo

Forse perché il residuo coincide con il coefficiente di $1/(z-2)$ nello sviluppo di Laurent di centro $2$ solo se tale sviluppo viene effettuato in un intorno di $2$?

Che fine ha fatto questo ? Non si vede piu'...
$ - 1/(z-1) $

Inoltre devi riguardarti tutto l'argomento perche' hai le idee confuse.
Prova a rispondere a queste domande...
trova lo sviluppo di Laurent e il residuo di
1) $f(z)= z$ centrato in $0$
2) $f(z)= 1/z$ centrato in $0$
3) $f(z)= 1/(1-z)$ centrato in $0$

Che fine ha fatto questo ? Non si vede piu'...
$ - 1/(z-1) $

L'ho scritto come sviluppo centrato in 2, in forma di sommatoria