Non ha senso comporre immagini, così come non aveva senso comporre punti.
Al massimo, vorresti dimostrare che $f(x) <= f(f(x))$... Ma a partire da quali ipotesi?
Inoltre, dici che $f$ è un funzionale (cioè una funzione a valori numerici) ma lo confondi con un operatore tra spazi di funzioni.
In nessuno dei casi la disuguaglianza proposta funziona. Infatti:
- se $f$ è un funzionale, non ha in generale senso calcolare $f$ sul numero $f(x)$ (a meno di non considerare forzatamente $f(x)$ come una funzione costante);
- se $f$ è un operatore, non ha senso in generale porsi il problema di stabilire se $f(x)<= f(f(x))$, perché gli spazi di funzioni non hanno degli ordini "decenti".
Inoltre, usi l'implicazione "continuità implica monotonia" come se $f$ fosse una funzione reale di una variabile reale definita in un intervallo, quindi mischi la teoria di Analisi I in un contesto in cui queste nozioni sono, in generale, prive di senso.
Nei post che hai inserito sul forum vedo una certa confusione sul cosa tu debba fare, sulle strutture e sugli oggetti che manipoli.
Dovresti farti un po' di chiarezza.
P.S.: Sei in tesi? O stai cominciando a fare ricerca?