Risolvere l'equazione di Poisson

Buongiorno a tutti! Data la soluzione fondamentale \(\Phi \) dell'equazione di Laplace e una \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), per dimostrare che \(u:=\Phi*f\) ha la proprietà \(-\Delta u=f\) si arriva a questo passaggio: \[\Delta u(x)=\int_{B(0,\epsilon)}\Phi(y)\Delta_xf(x-y)dy+\int_{\mathbb{R}^n-B(0,\epsilon)}\Phi(y)\Delta_xf(x-y)dy:=I_\epsilon+J_\epsilon,\] dove occorre separare l'integrale dal momento che \(\Phi\) esplode in \(y=0\). Tuttavia non capisco come si ottengono le seguenti disuguaglianze: \[|I_\epsilon|\le C\Vert D^2f\Vert_{L^\infty}\int_{B(0,\epsilon)}|\Phi(y)dy \le\begin{cases}C\epsilon^2|\log\epsilon| & (n=2), \\ C\epsilon^2 & (n\ge 3).\end{cases}\] Penso sia anche un problema di notazione perché non sono sicuro di cosa denoti l'espressione \(D^2f\). Qualcuno saprebbe gentilmente aiutarmi a capirle?

Stai leggendo l'Evans? Con \( D^2 \) Evans indica la matrice hessiana (vedi l'appendice A).
Nella seconda disuguaglianza devi usare sicuramente la forma (nota) delle soluzioni fondamentali... e prova a scrivere quell'integrale in coordinate (iper)sferiche.

Per definizione di laplaciano hai $Delta f = "tr"(D^2 f)$, in cui $"tr"$ è la traccia della matrice (i.e., la somma degli elementi sulla diagonale principale); dunque $||Delta f||_oo\leq n|| D^2 f ||_oo$.

Grazie per le risposte. Però continuo a non aver ben chiaro cosa succede: a me interessa stimare \(|\Delta_xf(x-y)|\) sotto l'integrale, no? Nella tua risposta, gugo, non mi tornano due cose; perché la stima è in norma infinito, e sopratutto, come è definita la norma infinito di una matrice!

Comunque sì, sto leggendo l'Evans, almeno per la parte per cui il prof. lo usa come riferimento.

a me interessa stimare \(|\Delta_xf(x-y)|\) sotto l'integrale, no?

Sì.

Nella tua risposta, gugo, non mi tornano due cose; perché la stima è in norma infinito

Perché, per qualunque funzione $phi$ tu voglia scegliere, $|phi(t)|<=max |phi|$ (o $"sup"|phi|$ oppure $"esssup"|phi|$) $=: ||phi||_oo$.

e sopratutto, come è definita la norma infinito di una matrice!

Come al solito, cioè:
\[
\|A\|_\infty := \max_{(i,j)} \| a_{ij}\|_\infty
\]
con le opportune varianti della norma interna (i.e., $max$, $"sup"$ o $"esssup"$) a seconda della regolarità che hai nei coefficienti.

Comunque sì, sto leggendo l'Evans, almeno per la parte per cui il prof. lo usa come riferimento.

Queste definizioni non stanno nelle appendici?
Ce l'ho il testo, ma ora non posso controllare.