Fourier applicato a successione di distribuzioni

Salve a tutti.
Mi sto preparando su alcuni esercizi riguardanti la Traformata di Fourier, ma mi sono imbattuto in uno che proprio non mi viene.

Si calcoli la trasformata di Fourier della seguente successione di distribuzioni.

$f_n(x)=\frac{n^2x+1}{n^2x^2+4}$

Quello che ho fatto è stato scoporre la frazione in $\frac{n^2x}{n^2x^2+4}+\frac{1}{n^2x^2+4}$

La trasforma di F. della prima frazione è nota, essa infatti è la trasforma della Lorentziana nella forma $f(t)=1/(a^2+t^2) \implies \hat(f)(\omega)= \pi/a e^{a\abs(\omega)}$
da cui
$f_1(t)=\frac{1}{(2/n)^2+x^2}\;\hat(f_1)(\omega)= (\pi n)/2e^{-2/n\abs(\omega)}$

Da qui il primo dubbio: il libro come risultato riporta che il coefficiente è in realtà $\pi/(2n)$

Comunque quella che ho scritto dovrebbe essere la prima parte della soluzione a cui si deve sommare la trasforma della frazione $ \frac{n^2x}{n^2x^2+4}+\frac{1}{n^2x^2+4} $ che proprio non saprei come trovare

Grazie a chi mi darà un mano!

-----------

Edit: Sono appena riuscito a risolvere la questione per quanto riguarda l' altra frazione
Con Jordan ed evitando gli errori calcolo che ho fatto viene $\hat f_2(\omega)=\pi i \dot sgn(\omega)e^{-\abs(\omega)2/n}$

Fattostà che mi rimane il problema del coefficiente $ \pi/(2n) $ nella prima frazione

Ciao rdif,

Non ti sei semplicemente dimenticato di moltiplicare per $1/n^2 $?

$ \frac{1}{n^2x^2 + 4} = 1/n^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 4/n^2} = 1/n^2 \cdot \frac{1}{x^2+ (2/n)^2} $

Silly me! purtroppo la sessione di esami che si avvicina regala brutti scherzi.
grazie pilloeffe