Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
10/10/2019, 10:49
buongiorno a tutti, ho un paio di dubbi su questo esercizio, potete aiutarmi?
Sia \(f(x): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) e \(f(x)=e^{-|x|}\)
a) Calcolare la trasformata di Fourier \(f(x)\)
b) Dal risultato precedente calcolare la trasformata di Fourier di:
\(g(x)=f(x)+xf(X)\)
\(h(x)= f(x)\cos{(x)}\)
Risoluzione:
a) \( \widetilde{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(x) e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-|x|} e^{-i\omega x}dx=\)
dato che è una funzione pari:
\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-|x|} e^{-i\omega x}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{1+\omega^2}\)
la mia domanda è la seguente: l'integrale \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\frac{1}{1+\omega^2}\) è un integrale notevole? non riesco a tirare fuori lo stesso risultato. Io ho provato a farlo per parti ma l'esponenziale mi rimane sempre (ovviamente oserei dire).
b) calcolare \(\widetilde{g}(\omega)\) è banale, basta applicare la definizione:
\(\widetilde{g}(\omega)=\widetilde{f}(\omega)+i\frac{d}{d\omega}\widetilde{f}(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{1+\omega^2}+i2\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{(1+\omega^2)^2}\)
invece, sono bloccato per trovare \(\widetilde{h}(\omega)\), ho le soluzioni ma non le capisco.
grazie mille in anticipo
10/10/2019, 14:01
leomagicabula ha scritto:la mia domanda è la seguente: l'integrale \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\frac{1}{1+\omega^2}\) è un integrale notevole? non riesco a tirare fuori lo stesso risultato.
Il coseno ha anche una forma esponenziale (dalla formula di eulero)
\(cos\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{-jx}+e^{jx} \right )\)
10/10/2019, 14:41
Exodus ha scritto:leomagicabula ha scritto:la mia domanda è la seguente: l'integrale \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=\frac{1}{1+\omega^2}\) è un integrale notevole? non riesco a tirare fuori lo stesso risultato.
Il coseno ha anche una forma esponenziale (dalla formula di eulero)
\(cos\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{-jx}+e^{jx} \right )\)
Lo so... non era questo il punto.
\(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos{(\omega x)}dx=1/2\int e^{-x}(e^{-i\omega x}+e^{i\omega x})dx= 1/2\int e^{x(-i\omega-1)}+e^{x(i\omega -1)}dx=\)
a questo punto provo ad integrare:
\(=1/2[\frac{(-i\omega-1)e^{x(-i\omega -1)}}{-i\omega -1}+\frac{(i\omega +1)e^{x(i\omega-1)}}{i\omega-1}]=
1/2[\frac{(i\omega -1)e^{x(-i\omega -1)}+(-i\omega +1)e^{x(i\omega -1)}}{\omega^2+1}]\)
quindi sì, il denominatore torna ma il numeratore?
10/10/2019, 16:57
leomagicabula ha scritto:quindi sì, il denominatore torna ma il numeratore?
Spezza in 2 l'integrale:
\(\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x}e^{-j\omega x}dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1+j\omega \right ) }\)
\(\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x}e^{j\omega x}dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1-j\omega \right ) }\)
Adesso sommo i 2 risultati:
\(\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1+j\omega \right ) }+\frac{1}{2}\frac{1}{\left (1-j\omega \right ) }=\frac{1}{1+\omega ^{2}}\)
10/10/2019, 18:35
Ciao leomagicabula,
leomagicabula ha scritto:la mia domanda è la seguente: l'integrale $\int_0^{+\infty} e^{-x} cos(\omega x) \text{d}x=1/(1+\omega^2) $ è un integrale notevole?
Non so bene cosa tu intenda per integrale notevole, certo è che è fra i primi che ricordo di aver risolto col procedimento dell'integrazione per parti iterata: dai un'occhiata ad esempio
qui.
Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000—
Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.