Dimostrare che la \( \zeta \) non ha zeri in \( \overline{\mathbb{H}}_1\)

Non capisco la domanda (1) e mi blocco sulla domanda (2)
Sia \( \Phi(s)=\sum_p \frac{\log p}{p^s} \), con \(p \) primo.
(1) Dimostra che per tutti \(b,\epsilon >0 \) abbiamo
\[ \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)>0 \]
(2) Calcolare il limite
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 \]
e dedurre che \( \zeta \) non possiede zeri su \( \overline{\mathbb{H}}_1 \).

Il mio dubbio sta in (1) che \( \Phi: \mathbb{H}_1 \to \mathbb{C} \), e \(\mathbb{C}\) non è ordinato, come faccio quindi a dimostrare che è maggiore di zero?

Per il (2)
Sappiamo che gli zeri di \( \zeta \) corrispondono ai poli di \( \Phi \). E siccome \( \Phi \) non ha poli su \( \mathbb{H}_1 \) e sufficiente dimostrare che \( \Phi \) non ha poli su \( \partial \mathbb{H}_1 \).
Supponiamo pertanto che \( 1+ib \in \partial \mathbb{H}_1 \), con \(b>0\) sia uno zero di ordine \(n\) della \( \zeta \).
Allora per la definizione di \( \zeta \) abbiamo che \( \zeta(\overline{s})=\overline{\zeta(s)} \) pertanto pure \(1-ib \) è uno zero di ordine \(n\) della \( \zeta\). Pertanto in questi due punti abbiamo che \( \Phi\) possiede un polo il cui residuo è: \( \operatorname{res}(\Phi,1\pm ib)=-n \). Notiamo inoltre che
\[ \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 = \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon) \]
Pertanto
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 \]
\[ = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \left( \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)\right) \]
E mi blocco...

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Se continui così presto ti chiederanno di dimostrare l'ipotesi di Riemann!

Sul primo dubbio, è facile, si tratta di dimostrare che quell'espressione bruttissima in \(b\) e \(\epsilon\) è reale e maggiore di zero. Tutto il resto ha un aspetto terribile, ma forse non è così difficile in fondo.

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non esageriamo

Per (1) sappiamo che
\[ \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 = \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon) \]
E notiamo che \(\left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)=2 \Re(p^{ib/2 })\), e deduciamo che \(\left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4=2^4 \Re(p^{ib/2 })^4 \in \mathbb{R}_+^* \).
Inoltre siccome \( p \geq 2 \) e siccome \( 1 + \epsilon \in \mathbb{R}_{>1}\) abbiamo che
\[ \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 >0 \]

Per (2) forse ma non sono sicuro

\[ = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \left( \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)\right) \]
\[= \operatorname{res}(\Phi,1+2ib) + \operatorname{res}(\Phi,1-2ib) + 4\operatorname{res}(\Phi,1+ib)+4\operatorname{res}(\Phi,1-ib) +6\operatorname{res}(\Phi,1) = (\star)\]
E posto \(n,m>0 \) abbiamo che \(\operatorname{res}(\Phi,1\pm ib)=-n\) e che \(\operatorname{res}(\Phi,1 \pm 2ib)=-m \).
Pertanto ,e siccome \( 0< (\star)\), segue che
\[ (\star)= 6-8n-2m \leq 6-8n \]
\(n=0 \)
Pertanto siccome non ha senso dire che uno zero della zeta ha ordine zero, significa che la zeta non ha zeri sulla \( \overline{\mathbb{H}}_1 \).