Teorema di Disintegrazione, alcuni dubbi

Buonasera, recentemente stavo leggendo questa dimostrazione del Teorema di Disintegrazione ma ci sono vari passaggi che non mi sono molto chiari. Mi piacerebbe discuterne, se qualcuno è interessato.

Intanto metto il primo dubbio: a pagina 315, 9 righe prima della formula (21) sta scritto

Partition each $T^{-1}B_i$ into sets $N_i, K_{i1}, K_{i2}, \dots$ with $\lambda N_i=0$ and each $K_{ij}$ compact.

Siccome immagino che nessuno avrà voglia di leggere tutta la dimostrazione, semplifico il mio dubbio:

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e si supponga che $\lambda$ sia una misura di Radon $\sigma$-finita su $X$ (con la sigma algebra dei Boreliani). Si prenda quindi un insieme misurabile $B \subset X$ di misura finita. Allora esistono $N, \{K_{j}\}_{j \ge 0}$ sottoinsiemi misurabili di $B$ t.c. $\lambda(N)=0$, $K_j$ è compatto per ogni $j \ge 0$ e
\begin{equation} \tag{1}\bigcup_{j \ge 0} K_j \cup N = B. \end{equation}

Fin qua nulla da eccepire, segue tutto dalla regolarità della misura $\lambda$.

Ma nell'articolo si afferma che tali insiemi possono essere presi disgiunti a coppie cioè tali che per ogni $j \ge 0$ si abbia $N \cap K_j = \emptyset$ e tali che $[i \ne j] \Rightarrow [K_i \cap K_j = \emptyset]$.

Questa cosa si può sempre fare? Perché?

Se la risposta è no, mi piacerebbe allora capire se la dimostrazione funziona anche non prendendoli disgiunti (ma non mi sembra).

Non credo che sia risolutivo ma penso che possa essere utile tenere in considerazione il (un) teorema di Sierpinski che dice che: "Dato uno spazio $X$ che sia $T_2$, connesso e compatto, dato un ricoprimento di $X$ ${x_n}_{n_\inNN}$ di insiemi chiusi disgiunti a coppie, esattamente uno è non vuoto (e quindi è $X$).
Quindi se siamo in un caso in cui $X\setminus N$ sia connesso e compatto quello che chiedi non si può fare, in altri casi non so dirtelo.

Mah, il caso in cui $X \setminus N$ è già compatto non mi interessa perché mi renderebbe già felice...

Mi sto abbastanza convincendo che non si possa fare in generale e che quindi c'è qualche inghippo nella dimostrazione o non ho colto qualcosa.

Purtroppo mi trovo un po' in alto mare con le cose "serie" che sto facendo e quindi ora non ho tempo e concentrazione per mettermi a cercare di capire meglio questa dimostrazione.

In ogni caso, grazie per la risposta!

Sospettavo che forse non ti fosse d'aiuto ma era l'unica cosa che mi era venuta in mente.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Comunque per queste cose così tecniche, se fondamentali per la tua formazione, non si deve escludere la possibilità di contattare direttamente gli autori del lavoro. Se c'è un errore sono sicuro che saranno ben lieti di saperlo, se non c'è saranno altresì ben lieti di darti le risposte che cerchi.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

In realtà il teorema di disintegrazione è una cosa super classica (almeno, così mi dicono). Il problema è che o lo si trova enunciato in contesti generalissimi con dimostrazioni astruse e lunghissime (si veda il secondo volume dell'opera di Bogachev) oppure non si trova dimostrato. Ho cercato per un po' una dimostrazione civile di un enunciato sufficientemente "operativo", giusto per capire quali sono le idee sottostanti.
Questo articolo mi pare avere la sintesi giusta.

Tuttavia la dimostrazione non è fatta nei dettagli e... certe cose non mi tornano. Appena mi sento in pace con il resto, provo a mettermici d'impegno e vi so dire cosa scopro!

Se qualcuno ha guardato dentro l'articolo a cosa serve questa unione disgiunta di compatti, penso che un modo per ovviare quel tipo di costruzione sia usare un (noto?) teorema di "isomorfismo":

Ogni spazio Polacco è omeomorfo ad un sottoinsieme boreliano di uno spazio metrico compatto.

Ma, ripeto, non ho messo a posto i dettagli e rimane tutto molto euristico per adesso!