Trasformata di Fourier successione di distribuzioni

Salve a tutti,
Sto provando a risolvere un esercizio di un tema d'esame ma proprio non mi viene! e quindi chiedo il vostro aiuto.

Si consideri $f(t)=\theta(t)\theta(\tau-t)(1-t/\tau)$ . Si calcoli la trasformata di
Fourier $\hat f \(\omega)$ . A quale distribuzione tende (nel senso $S’$) la parte
reale di $\hat f \(\omega)$ nel limite $\tau \rightarrow +\infty $?

Perché "non ti viene"? Cosa hai provato? Hai disegnato il grafico di \(f\) in funzione di \(t\)?

Se ho intuito bene, i primi due fattori vanno a definire una funzione di valore 1 su un intervallo che va da $0$ a $\tau$, e 0 altrove.
Quindi la questione diventa fare l'integrale
$\int_0^\tau (1+\frac{t}{\tau})e^{i\omega t}dt$

Spezzo l'integrale e il risultato è:

$ \frac{e^{i\omega t}}{i \omega} |_0^\tau = \frac{e^{i \omega \tau}}{iw}+\frac{i}{omega}$

alla quale dovrà essere sommato
$\int_0^\tau \frac{t}{\tau}e^{i\omega t} dt$
che non so come si fa, qualche suggerimento?

grazie per aver risposto intanto, @dissonance

Integra per parti. Poi in realtà, graficamente è chiaro cosa succede: il grafico di quella roba è un triangolo rettangolo. Non dovrebbe essere difficile calcolare l'integrale esplicitamente.