Serie di Fourier; disuguaglianza di Bessel ed identità di Parseval

Salve a tutti,

Sto cercando di comprendere questo concetto che, purtroppo, non mi è molto chiaro da un punto di vista matematico.

Allora, si vuole verificare che la serie di Fourier approssima bene la funzione $ f(x) $ che supponiamo essere periodica di $2\pi$ nell'intervallo $(-\pi,\pi)$.

Per verificare ciò, si considera l'errore quadratico medio

$||f(x)-S_n(x)||^2 = int_(-\pi)^(\pi) |f(x)-S_n(x)|^2dx $ $ = int_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx -\pi[a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)] (1.1) $

dove $S_n(x)$ è la successione delle somme parziali n-sime.

Allora considerando l'identità di Parseval si ha

$ a_0^2/2+sum_(k=1)^(+oo )(|a_k|^2+|b_k|^2)=1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

e quindi, quando $ n -> +oo $ si ha che

$ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2) -> 1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

e dunque che $|f(x)-S_n(x)|^2 -> 0 $

Quello che non capisco è l'utilizzo della diseguaglianza di Bessel per dimostrare il senso matematico di (1.1).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Infatti, su questi appunti c'è scritto che, dall'identità di Parseval, si ha che

$ 1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

è una quantità positiva, dunque il secondo termine della d. di Bessel

$ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)<=1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $

è positivo.

La $ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)$ è una serie di potenze a termini positivi, dunque la sua somma coincide con $1/\piint_(-\pi)^(\pi) |f(x)|^2dx $ (non è dimostrato).

Dunque $ a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)$ è una quantità positiva, altrimenti la d. di Bessel non avrebbe senso (perchè?) e dunque

$a_0^2/2+sum_(k=1)^(n)(|a_k|^2+|b_k|^2)$

,al secondo membro della (1.1) è una quantità non negativa.

Tutto quanto posto nello spoiler non è dimostrato. Vorrei almeno caprine il "senso" matematico, per evitare di imparare qualcosa a memoria...

Grazie.

Non è una buona spiegazione. Questa è una cosa importante, meglio capirla bene. Consulta un altro libro.

Comunque il punto che il professore vuole segnalare è che, se la successione \(a_n\) è non negativa, allora
\[
\sum_{n=1}^N a_n \le C<\infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^\infty a_n\ \text{è convergente.}\]

Non è una buona spiegazione. Questa è una cosa importante, meglio capirla bene. Consulta un altro libro.

Comunque il punto che il professore vuole segnalare è che, se la successione \(a_n\) è non negativa, allora
\[
\sum_{n=1}^N a_n \le C<\infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^\infty a_n\ \text{è convergente.}\]

Ti ringrazio, purtroppo nel libro che ho acquistato "in solitaria" non c'è una spiegazione, o meglio rimanda agli spazi di Hilbert, che nel mio corso non sono stati trattati.

Vabbè, comunque il punto fondamentale è quello del mio post precedente.