[EX] Equazione differenziale dell'oscillatore armonico

Vorrei proporre un controesercizio sempre sugli oscillatori armonici. Come si risolve l'equazione differenziale di un oscillatore armonico:

\begin{equation}
\begin{cases}
\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \theta(t) f(t)\\
x(0) = x_0\\
\dot{x}(0) = x_1
\end{cases}
\end{equation}

con $\gamma>0$, $x_0$ ed $x_1$ costanti reali, ed $f(t) \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, supponendo che la soluzione si identicamente nulla per $t<0$ e che la perturbazione venga accesa per $t>0$?

@Masaki

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Per curiosità, cosa sarebbe un "controesercizio" ?

Questo esercizio l'ho postato come risposta ad un esercizio sulla pagina di Fisica. Dopo che mi sono accorto che forse è un po' troppo tecnico dal punto di vista matematico, ho deciso di spostarlo in questa sezione.

Basta “laplacizzare” ambo i membri della EDO tenendo presenti le condizioni iniziali, o sbaglio?

In realtà c'è un problema nella traccia. Se \(x_0\) è diverso da zero, quel problema non ha soluzione, perché per "soluzione" di un problema di Cauchy si intende, in genere, una funzione perlomeno continua (e in realtà anche derivabile due volte). Sarebbe stato meglio formulare il problema direttamente su \((0, \infty)\);

\begin{equation}
\begin{cases}
\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = f(t), & t>0\\
x(0) = x_0,\\
\dot{x}(0) = x_1.
\end{cases}
\end{equation}

In realtà c'è un problema nella traccia. Se \(x_0\) è diverso da zero, quel problema non ha soluzione, perché per "soluzione" di un problema di Cauchy si intende, in genere, una funzione perlomeno continua (e in realtà anche derivabile due volte). Sarebbe stato meglio formulare il problema direttamente su \((0, \infty)\)

No, è richiesta una soluzione debole al problema (come tra l'altro è suggerito dalla classe di funzioni in cui pesco la forzante). Un modello fisico di quanto visto può essere un circuito RLC forzato con un'onda quadra accesa a $t=0$. Ti assicuro che così il problema è ben posto per come lo sto immaginando io.

Basta “laplacizzare” ambo i membri della EDO tenendo presenti le condizioni iniziali, o sbaglio?

Non capisco cosa intendi per “laplacizzare”. Puoi spiegarti meglio per favore?

Ultima modifica di Masaki il 25/03/2020, 11:39, modificato 1 volta in totale.

In quel caso, \(x_0=0\). Altrimenti non ha senso.

Non ha senso chiedersi cosa succede puntualmente in $t=0$. Comunque prova a postare una soluzione e ne discuto molto volentieri!

[dissonance]

Non ha senso chiedersi cosa succede puntualmente in $t=0$.

Sono d'accordo. Per quello sto contestando l'imporre condizioni iniziali. Puoi farlo, ma dovresti specificare in che senso le imponi. Questi sembrano dettagli tecnici senza importanza, ma un po' di importanza ce l'hanno.

Quanto ai conti, se \(\gamma=0\) allora la soluzione con dati iniziali \(x_0=0, x_1=0\) è data, formalmente, dall'integrale
\[
u(t)=\int_0^t\frac{\sin(\omega_0(t-t'))}{\omega_0}f(t')\, dt'.\]
Se \(f\) è una distribuzione questo integrale ha ancora senso, per esempio si può interpretare come una convoluzione.

Se imponiamo \(x_1\ne 0\) bisogna aggiungere
\[
x_1\sin(\omega_0t).\]
Qui non ci sono grossi problemi nel prolungare a sinistra di zero, perché questa funzione vale \(0\) per \(t=0\). Ma se imponiamo \(x_0\ne 0\) dobbiamo aggiungere
\[
x_0\cos(\omega_0 t), \]
e quindi introduciamo una discontinuità, che a sua volta introduce una delta di Dirac una volta derivata e quindi va a creare problemi nell'equazione.

Ultima modifica di dissonance il 25/03/2020, 12:44, modificato 1 volta in totale.

E ha senso che sia discontinua, le condizioni iniziali fungono sostanzialmente da sorgenti puntiformi come hai scritto. Se pensi ad un circuito RLC alimentato con una tensione costante per t<0 che viene "rimossa a $t=0$" (per meglio dire a $t= -\varepsilon$ con $\varepsilon \to 0^+$), il sistema deve avere in uscita la tensione che gli ho fornito. Giustamente tu mi dici, ok ma la soluzione per $t<0$ non è nulla ma dal punto di vista causale io posso equivalentemente considerare il sistema con tensione nulla per $t<0$ e supporre che la sua dinamica per $t>0$ sia determinata solamente dagli ultimi valori assunti dalla tensione e dalla sua derivata. Quindi in questo senso può essere discontinua.

Per altro dal punto di vista matematico, posso trovare una soluzione in $\mathcal{D}'$ avvalendomi dell'algebra di convoluzione definita su questo insieme senza dover passare per le trasformate di Fourier, il che la rende la soluzione più generale possibile.