Ci sono alcune cosine che non funzionano perfettamente. Per ogni $a >0$ definisco la mappa $\tau_{a}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come
\[ \tau_{a}(x) = x+a, \quad x \in \mathbb{R}.\]
Quello che l'esercizio ci chiede di dimostrare è che, se $p \in [1, + \infty)$ e $f \in L^p(\mathbb{R})$, allora
\[ \lim_{a \downarrow 0} \|f\circ \tau_{a} - f\|_p =0.\]
Cioè, per definizione di limite, che
\[ \forall \, \epsilon >0 \quad \exists \, \delta_{\epsilon}>0 \text{ t.c. } 0 < a < \delta_{\epsilon} \Rightarrow \|f \circ \tau_a -f\|_p < \epsilon \]
Fissiamo $\epsilon >0$.
Per ora tu hai fatto vedere che esiste \( g_{\epsilon} \in C^{\infty}_c(\mathbb{R}) \) tale che
\[ \|f \circ \tau_{a} - f \|_p \le \|f\circ \tau_{a} - g_{\epsilon} \circ \tau_{a} \|_p + \|f-g_{\epsilon}\|_p + \|g_{\epsilon}-g_{\epsilon} \circ \tau_{a}\|_p \le \frac{2}{3} \epsilon + \|g_{\epsilon}-g_{\epsilon} \circ \tau_{a}\|_p. \]
Quindi, come dici giustamente tu, manca da far vedere che
\begin{equation} \tag{1} \forall \, \epsilon >0 \quad \exists \, \delta_{\epsilon}>0 \text{ t.c. } 0 < a < \delta_{\epsilon} \Rightarrow \|g_{\epsilon} \circ \tau_a -g_{\epsilon}\|_p < \epsilon/3 \end{equation}
Chiamiamo, circa come fai tu
\[ g^a_{\epsilon}(x) := |g_{\epsilon}(x+a) - g_{\epsilon}(x)|^p.\]
La $(1)$ è quindi equivalente a far vedere che
\[ \lim_{a \downarrow 0} \int_{\mathbb{R}} g^a_{\epsilon}(x) dx =0.\]
Per applicare il teorema della convergenza dominata devi far vedere due cose
1) Per quasi ogni $x \in \mathbb{R}$ vale \( \lim_{a \downarrow 0} g^a_{\epsilon}(x) =0\).
2) Esiste $G_{\epsilon} \in L^1(\mathbb{R})$ tale che \( g^a_{\epsilon}(x) \le G_{\epsilon}(x) \) per quasi ogni $x \in \mathbb{R}$ e ogni $a >0$.
Il tuo tentativo per la 1) è questo:
3m0o ha scritto:[...]
In più \( \forall x \in \mathbb{R} \)
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } g^{\epsilon}(x) = 0 \]
dunque \( g^{\epsilon} \) converge puntualmente a \( 0 \).
[...]
Ma devi stare attento che quando muovi $\epsilon$ stai muovendo anche la $g_{\epsilon}$, insomma è meglio dividere il ruolo di $\epsilon$ da quello di $a$.
Mentre per il 2) hai scritto che:
3m0o ha scritto:[...]\[ \left| g^{\epsilon} \right| = \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) - g_{\epsilon}(x) \right|^p \leq \left| \left| g_{\epsilon}(x+\epsilon) \right| + \left| g_{\epsilon}(x) \right| \right|^p \leq \left| 2 \max_{x \in [a-2 \epsilon,b+ 2 \epsilon]}\{g_{\epsilon}(x+\epsilon),g_{\epsilon}(x) \} \right|^p \leq 2^p \left| \max_{x \in \operatorname{supp}(g) } \{ g_{\epsilon} \} \right|^p < \infty \]
[...]
Eh però la cosa che trovi dipende da $\epsilon$, quindi non va bene. Per questo è meglio separare $\epsilon$ e $a$.
Infine, due cose assolutamente minori che però mi va di sottolinearti:
1. Spesso ti troverai ad applicare il Teorema della Convergenza dominata non a successioni di funzioni \( \{f_n\}_{n \ge 1} \) come nell'enunciato del teorema, ma piuttosto a famiglie \( \{ f_{a}\}_{a >0} \) indicizzate da un parametro continuo. Ti sei chiesto perché il teorema funziona lo stesso?
2. Il Teorema di Lusin, al quale accennavo prima, è uno strumento meno raffinato dell'approssimazione con funzioni \( C^{\infty}_c(\mathbb{R}) \) ma che vale molto più in generale e sostanzialmente ti dice la stessa cosa però con le funzioni continue: Sia $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione misurabile nulla al di fuori di un insieme di misura finita $A$. Allora, per ogni $\epsilon >0$, esiste un compatto $K_{\epsilon} \subset A$ tale che \(g_{\epsilon} := f |_{K_{\epsilon}} \) è continua e la misura di $A \setminus K_{\epsilon}$ è minore di $\epsilon$. Da qua puoi tirare fuori la densità di \( C_c(\mathbb{R}) \) in $L^p(\mathbb{R})$ e la dimostrazione che accenno sopra vale quindi pari pari (la derivabilità di $g_{\epsilon}$ non serve a nulla.).