Ho qualche problema con la definizione di convergenza debole. Il mio professore, seguendo abbastanza il mio libro di testo, fa questo ragionamento:
Innanzitutto definiscono il concetto di topologia debole e costruiscono tale topologia attraverso un sistema fondamentale di intorni. Def. Sia X uno spazio di Banach con $X^*$ come duale, chiamo topologia debole su X la topologia più debole, ossia con meno aperti, che renda continui tutti i funzionali del duale.
Senza dare una definizione di convergenza debole, è subito dato questa proposizione che in molti libri ho trovato proprio come definizione. Prop. Dico che un net ${x_α }_(α∈A)$ converge debolmente $x_α⇀x$ se e solo se $∀ϕ∈X^* si ha ϕ(x_α )→ϕ(x)$.
Dim.
(=>) per ipotesi ho la convergenza debole, per cui $∀ N(x,l_1,…,l_n,ε)$ intorno di x, il net $x_α$sta
definitivamente in N, quindi $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$.
Questa non è la definizione di convergenza tradizionale? Cercando di dare un senso a ciò che leggo, mi verrebbe da dire che in realtà un net converge se è definitivamente contenuto in ogni intorno fondamentale che descrive la topologia debole, ma è una pura supposizione... ha senso(?) Essendo$ l_1,…,l_n$ una base per $X^*$, avrò, in particolare che $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,ϕ,ε)$.
Questo vuol dire che $|ϕ(x_α-x)|<ε$ e quindi ho la tesi.
Se la definizione di convergenza debole che ho pensato prima è giusta allora mi chiedo, dal momento che non mi è mai stata data una caratterizzazione di insieme fondamentale ma anche qui è tutto frutto delle mie ricerche personali, $N(x,ϕ,ε)$ è ancora un intorno fondamentale? Se si perchè? (<=) Sia $x∈X$, quello che voglio far vedere è che, preso l’intorno $x∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$,
$x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$ definitivamente. Sappiamo, per ipotesi, che presi i generatori del duale
$l_i (x_α )→l_i (x)$ e quindi che $∀α_i∈A,∃α>α_i ;|l_i (x_α-x)|<ε$
Uso il fatto che A è un insieme diretto e quindi
$∃α ̅>α_i ∀i=1,..,n∶|l_i (x_α-x)|<ε$
E questo vuol dire proprio che $x_α∈N$ definitivamente.
Inoltre, dal fatto che ho preso una base finita per il mio spazio duale deduco di avere uno spazio di Banach che abbia dimensione finita, e se la dimensione fosse infinita??
Ultima modifica di
Zstar il 30/06/2020, 17:10, modificato 1 volta in totale.