Calcolo coefficienti di Fourier

Salve a tutti, sono nuovo e felice di far parte di questa community. Mi viene richiesto quanto segue :





Ora io dovrei, ad esempio per quanto riguarda il coefficiente a_n, applicare la seguente formula :

$ a_n= int_-pi^pi cos(nx)/sqrtpi * e^{i x/2} dx $

Il punto è che non so bene come trattare questo integrale complesso. Dovrei usare qualche tecnica correlata al calcolo di residui? Vorrei semplicemente uno spunto su come procedere e ringrazio in anticipo chiunque dedicherà del tempo per aiutarmi.

Ciao mt0792,

Benvenuto sul forum!

Beh, tieni presente che $e^{i x/2} = cos(x/2) + i sin(x/2) $, quindi...
Mi risulta che si ha:

$a_n = \int_-pi^pi cos(nx)/(sqrt{\pi}) e^{i x/2} \text{d}x = 1/sqrt{\pi} \int_-pi^pi cos(nx)/(sqrt{\pi}) e^{i x/2} \text{d}x = 4/sqrt{\pi} \cdot (cos(n\pi))/(1 - 4 n^2) = 4/sqrt{\pi} \cdot ((-1)^n)/(1 - 4 n^2) $

Scusate, ma la base è quella indicata dalla traccia, quindi cosa c'entrano i coseni?

Visto che la base $\{e_k(x)\}_(k in ZZ)$ è ortonormale rispetto al prodotto scalare complesso:

$\langle f,g \rangle := int_(-pi)^pi f(x) * bar(g)(x) text ( d) x$

si tratta di calcolare:

$c_k := int_(-pi)^(pi) g(x)*bar (e_k)(x) text( d) x = 1/sqrt(2 pi) * int_(-pi)^pi e^(i (1/2-k)x) text( d) x$

che si svolge come già si insegna in Analisi I (e alle superiori).

Inoltre:

Moderatore: gugo82

@ mt0792: Al primo post passi, ma ti chiedo gentilmente di evitare di inserire il testo di un esercizio mediante immagine. Il motivo è semplice: dopo qualche tempo, i siti di hosting cancellano i dati ed i thread risultano acefali ed illeggibili alla lunga.

I tool messi a disposizione per inserire formule sono molto semplici, quindi cerca di imparare ad usarli.
Grazie.

Nell'ottica di ottemperare a quanto richiesto dal moderatore modificando opportunamente l'OP eliminando la foto, ma tenendo anche conto che si tratta pur sempre del tuo primo messaggio, per questa volta ti scrivo io il testo come avresti dovuto scriverlo:

Nello spazio di Hilbert $H = L^2(-\pi, \pi) $ si consideri la funzione

$ g(x) = e^{i \frac{x}{2}} $

Si scriva lo sviluppo in serie di Fourier di $g(x) $ nella base delle funzioni

$e_k(x) = \frac{e^{ikx}}{sqrt{2\pi}} $

discutendone le proprietà di convergenza. Si scriva infine la corrispondente identità di Parseval.

Codice:

Nello spazio di Hilbert $H = L^2(-\pi, \pi) $ si consideri la funzione

$ g(x) = e^{i \frac{x}{2}} $

Si scriva lo sviluppo in serie di Fourier  di $g(x) $ nella base delle funzioni

$e_k(x) = \frac{e^{ikx}}{sqrt{2\pi}} $

discutendone le proprietà di convergenza. Si scriva infine la corrispondente identità di Parseval.


. Grazie a tutti per i chiarimenti. Ho postato un quesito simile ieri ( senza immagine, seguendo le regole del Forum) eppure non è stato ancora pubblicato. Chiedo, gentilmente, delucidazioni in merito agli amministratori del forum, non potendoli contattare direttamente per messaggio privato ( mi viene detto che è necessaria una partecipazione più attiva per usufruire di questo servizio ed, essendo io registrato di poco, sono impossibilitato ad usarla).