Quali tra queste superfici di Riemann sono isomorfi?

Quali delle seguenti superfici di Riemann sono isomorfe?

a) \( \mathbb{C} /(\mathbb{Z} + i \mathbb{Z} ) \)
b) \( \mathbb{C} /(\mathbb{Z} + \frac{1+\sqrt{-3}}{2} \mathbb{Z} ) \)
c) \( \mathbb{C} /(\frac{1+i}{\sqrt{2}} \mathbb{Z} + \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \mathbb{Z} ) \)
d) \( \mathbb{C} / \mathbb{Z} \)
e) La curva proiettiva associata a \( y^2 = x(x^2-1)(x-2)(x+e^{\pi \sqrt{163}} ) \).

Ho un problema per a),b) c) sarei tentato di dire che a) e c) sono isomorfe ma b) no! Infatti

Direi \( \mathbb{C} /(\mathbb{Z} + i \mathbb{Z} ) \cong \mathbb{C} /(\frac{1+i}{\sqrt{2}} \mathbb{Z} + \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \mathbb{Z} ) \) perché abbiamo ponendo \( \alpha:=\frac{\sqrt{2}}{1+i} \) che \( \alpha \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \mathbb{Z} + \frac{-1+i}{\sqrt{2}} \mathbb{Z} \right) = \mathbb{Z} + i \mathbb{Z} \) e dunque \( z \mapsto \alpha z \) induce un biolomorfismo. Mentre per quanto riguarda \( \mathbb{C} /(\mathbb{Z} + \frac{1+\sqrt{-3}}{2} \mathbb{Z} ) \) penso non sia isomorfo agli altri perché non esistono \( a,b,c,d \in \mathbb{Z} \) con \(ad-bc =1 \) tale che \( i = \frac{a \omega + b}{c \omega + d} \) dove \( \omega = \frac{1+\sqrt{-3}}{2} \) e abbiamo che \( \mathbb{C} / \Gamma \) è biolomorfo a \( \mathbb{C} / \Gamma' \), dove \( \Gamma = \mathbb{Z} + \omega \mathbb{Z} \) e \( \Gamma = \mathbb{Z} + \omega' \mathbb{Z} \) se e solo se \( \omega' = \frac{a\omega + b}{c\omega + d} \). In definitiva a) e c) sono omeomorfi al toro e direi che sono pure biolomorfi al toro. Per b) non so molto bene credo rimanga omeomorfo al toro ma non più biolomorfo. Infatti per a) e c)
Sia \( \omega \in \mathbb{C} \) con \( \Im \omega > 0 \) e consideriamo il lattice \( \mathbb{Z}+ \omega \mathbb{Z} \). Abbiamo che \( \mathbb{C} / \Gamma\) dove \( \Gamma = \mathbb{Z} + \omega \mathbb{Z} \)
Abbiamo che \( (1,\omega) \) è una \( \mathbb{R}\)-base di \( \mathbb{C} \) e possiamo dunque definire
\[ \mathbb{C} \mapsto S^1 \times S^1 \]
\[ x+\omega y \mapsto (e^{2\pi i x}, e^{2 \pi i y } ) \]
Questa mappa scende al quoziente \(\overline{f} = f \circ \pi^{-1} : \mathbb{C} / \Gamma \to \mathbb{T} \), e chiaramente è una mappa biettiva e continua, inoltre poiché \( \mathbb{C}/\Gamma \) è compatto e il toro è uno spazio di Hausdorff abbiamo che \( \overline{f} \) è un omeomorfismo.