29/06/2023, 11:06
andreadel1988 ha scritto:Sia $EsubeRR^n$ di $L^n$-misura nulla. Provare che $RR^n\\E$ è denso in $RR^n$.
Mi basta mostrare che la parte interna di $E$ è vuota. Intanto definiamo $\mu^**$ la misura esterna di $L^n$. Abbiamo che $Int(E)subeE$ per cui per monotonia $u^**(Int(E))<=u^**(E)=0$, ma poichè le misure sono positive allora $u^**(Int(E))=0$ per cui $Int(E)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(Int(E))=0$. Se per assurdo $Int(E)!=∅$ allora siccome $Int(E)$ è aperto preso $x inE$ $EEr>0$ tale che $B(x,r)subeInt(E)$. Per gli stessi ragionamenti di prima si ha che $B(x,r)$ è $L^n$-misurabile e $L^n(B(x,r))=0$, ma siccome $r>0$ allora $B(x,r)notinRR^(n-1)$ e perciò non può avere misura nulla. Quindi necessariamente $Int(E)=∅$. Intanto volevo sapere se fosse tutto corretto e poi se ci fosse un modo più "semplice e diretto" per risolverlo, grazie.
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