Esercizio base sull'anti-trasformata di Laplace

Buon pomeriggio a tutti.
Sono nuovo dell'argomento quindi ho un po di dubbi da chiarire. Stavo svolgendo un esercizio svolto presente sul libro ma non riesco a capire il ragionamento che hanno portato avanti gli autori. Di seguito traccia e svolgimento:

$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2))$

Alla fine dell'esercizio vanno a rifarsi alla seguente trasformata nota:

$1-cos (\omega t) = \omega^2 /(s(s^2 +\omega^2)$

Lo svolgimento da loro effettuato è il seguente:

$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2)) = 1/ \omega^2 1 /s - 1/ \omega^2 s/(s^2 (s^2+\omega^2)) = 1/ \omega^2(1-cos(\omega t))$

I miei dubbi in merito all'esercizio sono:
- Perchè hanno diviso per $1/ \omega^2$ ?
- Perchè c'è la $s$ al numeratore di $s/(s^2 (s^2+\omega^2))$ e non $1$?

C'e' qualche errorino e un po' di confusione...

$ F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2)) $

Adesso faccio solo un passaggio algebrico, la trasformata non c'entra nulla.

$ F(s)=1/\omega^2 (1/s -s/(s^2 +\omega ^2) )$

Poi applico la trasfromata inversa di funzioni elementari:
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_L ... transforms

\[ \displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\} \]

$f(t) = (u(t)) / \omega^2 (1-cos \omega t)$

Fine. E' tutto qui.

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Grazie mille Quinzio. In pratica, quell'$1/\omega^2$ è una quantità utilizzata solo per "sistemare" la quantità seguente per portarla appunto ad una trasformata nota, mi confermi il ragionamento? Un po come accade per gli integrali quando diciamo "moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantità".

Un po come accade per gli integrali quando diciamo "moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantità".

Esatto.

Un po come accade per gli integrali quando diciamo "moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantità".

Esatto.

Il che non sorprende, dato che la trasformata di Laplace è un integrale.

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Grazie mille ad entrambi