Disuguaglianza di Poincaré in $W_0^(1,2)(\Omega)$

Sia $\Omega sub RR^n$ un insieme limitato e $C^1$. Allora esiste $c(\Omega)>0$ tale che per ogni $u in W_0^(1,2)(\Omega)$ si ha che $\int_(\Omega)u^2 dx<=c(\Omega)\int_(\Omega)|\nabla u|^2 dx$

Dimostrazione:

Sia $u in C_0^1(\Omega)$, allora $\int_(\Omega) <x,\nabla (u^2)> = \int_(\Omega) <x,2u\nabla u> = 2\int_(\Omega) <x,\nabla u>u$ adesso usando la disuguaglianza di cauchy-schwarz otteniamo $2\int_(\Omega) <x,\nabla u>u<=2\int_(\Omega) |x||\nabla u||u|<=2su p_{x in \Omega}|x|\int_(\Omega) |\nabla u||u|=2c(\Omega)\int_(\Omega) |\nabla u||u|$ dove $c(\Omega)$ è l'elemento che realizza il massimo di $|x|$ in $\Omega$ (che è limitato), per cui $c$ dipende da $\Omega$. Infine applicando la disuguaglianza di Holder otteniamo $2c(\Omega)\int_(\Omega) |\nabla u||u|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$.
Dall'altra parte, per il teorema di Gauss: $\int_(\Omega) <x,\nabla u^2> dx=-\int_(\Omega) n u^2+\int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=-\int_(\Omega) n u^2$ con $u in C_0^1(\Omega)$ (poichè $di v x=n$) ma allora:
$|-n\int_(\Omega) u^2 dx|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$, per cui $\int_(\Omega) u^2 dx<=(2c(\Omega))/n(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$ quindi semplificando $(\int_(\Omega) u^2 dx)^(1/2)<=(2c(\Omega))/n(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)$ perciò elevando al quadrato otteniamo $\int_(\Omega) u^2 dx<=\tilde c(\Omega)\int_(\Omega) |\nabla u|^2$.

Intanto volevo sapere se la dimostrazione cosi spiegata fosse giusta, poi avevo alcuni dubbi su alcune parti:

1) $\Omega sub RR^n$ un insieme $C^1$ vuol dire che è regolare? Cioè cosa significa ?

2)Perchè prendiamo $u in C_0^1(\Omega)$ mentre nell'enunciato $u in W_0^(1,2)(\Omega)$?

3) Non ho ben capito come usa il teorema di Gauss e che la divergenza di $x$ sia uguale a $n$ (in pratica non ho capito i passaggi:

.
Dall'altra parte, per il teorema di Gauss: $\int_(\Omega) <x,\nabla u^2> dx=-\int_(\Omega) n u^2+\int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=-\int_(\Omega) n u^2$ con $u in C_0^1(\Omega)$ (poichè $di v x=n$)

)

4) Perchè in:

$|-n\int_(\Omega) u^2 dx|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$,

mette il modulo?

Grazie in anticipo per l aiuto!

Intanto volevo sapere se la dimostrazione cosi spiegata fosse giusta [...]

Così "ad occhio" direi di sì.

[...] poi avevo alcuni dubbi su alcune parti:

1) $\Omega sub RR^n$ un insieme $C^1$ vuol dire che è regolare? Cioè cosa significa ?

Significa che il bordo di $Omega$ è liscio e non fa cose "strane", come avere spigoli o comportamenti anche peggiori (tipo pezzettini frattali, ad esempio).
La regolarità del bordo ti consente di usare le formule di Gauss & Green in maniera tranquilla; se il bordo non fosse troppo regolare lo potresti fare sotto alcune ipotesi molto tecniche.

2)Perchè prendiamo $u in C_0^1(\Omega)$ mentre nell'enunciato $u in W_0^(1,2)(\Omega)$?

Perché $C_0^1 (Omega)$ è denso in $W_0^(1,2) (Omega)$, quindi ogni funzione di Sobolev si può approssimare in norma $W^(1,2)$ con una successione di funzioni $C_0^1$; e, visto che i membri della disuguaglianza sono funzioni continue rispetto alla norma $W^(1,2)$, un passaggio al limite ti consente di dire che la disuguaglianza vale in tutto $W_0^(1,2)(Omega)$.

3) Non ho ben capito come usa il teorema di Gauss e che la divergenza di $x$ sia uguale a $n$; in pratica non ho capito i passaggi:

.
Dall'altra parte, per il teorema di Gauss: $\int_(\Omega) << x,\nabla u^2 >> dx=-\int_(\Omega) n u^2+\int_(\partial Omega) << x,nu >> u^2=-\int_(\Omega) n u^2$ con $u in C_0^1(\Omega)$ (poiché $di v x=n$)

Beh, scusa, se $x=(x_1,..., x_n)$ allora \(\operatorname{div} x = \underbrace{1+\cdots +1}_{n \text{ volte}} = n\); il resto è proprio la formula di Gauss & Green:
\[
\int_\Omega \langle \mathbf{F}, \nabla g\rangle = -\int_\Omega \operatorname{div} \mathbf{F}\ g + \int_{+\partial \Omega} g\ \langle \mathbf{F}, \mathbf{\nu} \rangle
\]
scritta con il campo vettoriale $mathbf{F} = x$ e funzione scalare $g=u^2$.

4) Perché in:

$|-n\int_(\Omega) u^2 dx|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$,

mette il modulo?

Perché questa maggiorazione:

$ 2\int_(\Omega) <x,\nabla u>u <= 2\int_(\Omega) |x||\nabla u||u|$

vale anche con il modulo al primo membro, poiché -ad esempio- già da Analisi I sai che \(|\int_a^b f | \leq \int_a^b |f|\) (è la disuguaglianza triangolare per l'integrale).

Grazie mille della risposta, ho capito molte cose, solo due mi rimangono incerte:

1) perchè $ \int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=0 $ ?

2) nel punto 4) non ho proprio capito perchè c'è la necessità di fare il modulo (solo per non portarsi un segno appresso?), tant è che nel passaggio successivo $ \int_(\Omega) u^2 dx<=(2c(\Omega))/n(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2) $ il modulo non compare più.

Grazie mille della risposta

1) perchè $ \int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=0 $ ?

Dato che $u in C_0^1(Omega)$, quanto vale $u$ su $\partial Omega$?

2) nel punto 4) non ho proprio capito perchè c'è la necessità di fare il modulo (solo per non portarsi un segno appresso?), tant è che nel passaggio successivo $ \int_(\Omega) u^2 dx<=(2c(\Omega))/n(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2) $ il modulo non compare più.

"Solo per non portarsi un segno appresso"... Hai detto niente!
Scusa, rifletti un attimo: da $-2 <= 1$ segue per caso (in qualche modo) che è anche $2<= 1$? Non mi pare.

Inoltre, il valore assoluto non è che "scompare" (puff!), bensì viene calcolato: infatti, dato che $u^2 >= 0$, hai $|- int_Omega u^2| = int_Omega u^2$.


P.S.: Stai studiando dall'Evans?

Dato che $u in C_0^1(Omega)$, quanto vale $u$ su $\partial Omega$? .

Ah si è una funzione a supporto compatto quindi il supporto è contenuto strettamente dentro $Omega$ e quidni ovviamente sul bordo si annulla... grazie.

P.S.: Stai studiando dall'Evans?

No, stavo approfondendo questo argomento da solo dato che quest'anno sfortunatamente in analisi 3 ci siamo fermati alle sole definizioni di spazi di sobolev e di sobolev frazionari senza poter fare dimostrazioni su alcuni risultati e quindi volevo approfondire da solo la disugualianza di Poincarè che il prof ha comunque messo sulle dispense per chi fosse interessato. Infatti mi mancano le nozioni di divergenza e tutto che però farò il prossimo semestre in un corso opzionale.
Grazie mille della risposta!

Perché $C_0^1 (Omega)$ è denso in $W_0^(1,2) (Omega)$, quindi ogni funzione di Sobolev si può approssimare in norma $W^(1,2)$ con una successione di funzioni $C_0^1$; e, visto che i membri della disuguaglianza sono funzioni continue rispetto alla norma $W^(1,2)$, un passaggio al limite ti consente di dire che la disuguaglianza vale in tutto $W_0^(1,2)(Omega)$.

Comunque per quanto riguarda questa parte: $ \int_(\Omega)u_n^2 dx<=c(\Omega)\int_(\Omega)|\nabla u_n|^2 dx $ ora supponiamo che ${u_n}_{n in NN}$ sia la successione in $C_0^1 (Omega)$ che converge a $u in W_0^(1,2) (Omega)$ con la norma $W^(1,2)$, ovvero $||u_n-u||_{W^(1,2)}->0$ per $n->+infty$, in pratica devo mostrare che $ \int_(\Omega)u_n^2 dx-> \int_(\Omega)u^2 dx$ e $\int_(\Omega)|\nabla u_n|^2 dx ->\int_(\Omega)|\nabla u|^2 dx $ per $n->+infty$

Beh, c'è poco da dimostrare... Visto che $norm(u)_{W^(1,2)} = norm(u)_2 + norm(nabla u)_2$ è ovvio che tutto vada come si deve.

Ed anche se hai dato una definizione più "balorda" di $norm(u)_{W^(1,2)}$ (tipo usando la radice della somma dei quadrati delle norme, i.e. $norm(u)_{W^(1,2)} = sqrt(norm(u)_2^2 + norm(nabla u)_2^2)$), si dimostra facilmente che puoi stabilire delle disuguaglianze del tipo:

$c_1 (norm(u)_2 + norm(nabla u)_2) <= norm(u)_{W^(1,2)} <= c_2 (norm(u)_2 + norm(nabla u)_2)$

quindi sei a cavallo comunque.

Io ho pensato di fare cosi:

Poniamo $\nabla u_j=(D_(x_1)u_j,...,D_(x_n)u_j)$ e $\nabla u=(D_(x_1)u,...,D_(x_n)u)$, ora siccome la norma è 1-Lipschitziana si ha che:

$abs( norm(u_j)_2-norm(u)_2 )<=norm(u_j-u)_2<=norm(u_j-u)_{W^(1,2)}->0$ per $j->+infty$
$abs( norm(\nablau_j)_2-norm(\nablau)_2 )<=norm(\nablau_j-\nablau)_2=\sum_{i=0}^n norm(D_(x_i)u_j-D_(x_i)u)_2<=norm(u_j-u)_{W^(1,2)}->0$ per $j->+infty$

quindi ho mostrato che $norm(u_j)_2->norm(u)_2$ e $norm(\nablau_j)_2->norm(\nablau)_2$ per $j->+infty$ e quindi in particolare $norm(u_j)_2^2->norm(u)_2^2$ e $norm(\nablau_j)_2^2->norm(\nablau)_2^2$ per $j->+infty$ e si conclude facendo il limite per $j->+infty$ in $ \int_(\Omega)u_j^2 dx<=c(\Omega)\int_(\Omega)|\nabla u_j|^2 dx $