Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
08/02/2024, 04:56
Ciao a tutti,
propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se i passaggi sono corretti. Grazie.
$ x(t) = p_(2T)(t) $ con $T>0 $ , dove $p_(2T)(t) $ è la funzione porta di periodo $2T$.
Si pone $ y(t) := (x ** x )(t) $ . Allora:
1) $y(t) >= 0$ per ogni $t in mathbb(R) $ ; (VERO)
2) $ y'(t) = sgn(t)*p_(2T)(t) $ nel senso delle distribuzioni; (FALSO)
3) $ int_(-oo )^(+oo ) y(t)dt=2T $ . (FALSO)
Devo rispondere, per ognuna, VERO o FALSO.
La mia risoluzione è la seguente:
----------------
1) $ (x**x)(t) = int_(-oo )^(+oo) x(t-s)x(s)ds= int_(-oo )^(+oo) p_(2T)(t-s)p_(2T)(s)ds = int_(-T)^(T)p_(2T)(t-s)ds$
$ p_(2T)(t-s)= { ( 1 rarr -T<t-s<T),( 0rarr al t rimenti):} = { ( 1 rarr t-T<s<t+T),( 0rarr al trimenti):} $
$ { ( t+T<0rarr t<-T),( -T<t<T ),( t-T>0rarrt>T ):} $
quindi
$ y(t)=int_(-T)^(T) p_(2T)(t-s)ds = { ( 0rarrt<-T ),( int_(t-T)^(t+T)(1)* ds rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} = { ( 0rarrt<-T ),( 2T rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):}$
tenendo presente che il risultato è positivo e che non dipente da $t$ allora $y(t) >= 0 $ per ogni $t in mathbb(R) $.
----------------
2) $ y^d(t)={ ( 0rarrt<-T ),( 0 rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} $
salti: $ { ( t_1=-T ),( [[y]]_-T=1 ):} { ( t_2=T ),( [[y]]_T=-1 ):} $
$ p'_(2T)(t)=0+1*delta(t+T)-1*delta(t-T) = delta(t+T)-delta(t-T) !=sgn(t)*p_(2T)(t) $
----------------
3) In realtà $ int_(-T )^(+T) y(t)dt=2T $. Cambiano gli estremi di integrazione.
Corretto?
Grazie.
08/02/2024, 18:50
Ci sono degli errori.
La $y(t)$ ha la forma di un triangolo isoscele. Inizia a $t=-2T$, poi sale fino a $t=0$, dove ha valore $2T$, poi scende per arrivare a zero a $2T$.
Devi rivedere le tue risposte alla luce di questo.
08/02/2024, 18:54
Vai su questa pagina
https://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione e guarda la gif in alto a destra.
Vedi che il triangolo inizia a -1 e finisce a 1, la funzione porta inizia a -0,5 e finisce a 0,5.
08/02/2024, 22:35
Ciao,
scusa ma non ho capito gli errori che ho fatto. Le risposte sono quelle perchè corrette dal professore. Io ho solo cercato di fare i conti per arrivare a quelle risposte. Dove sono gli errori?
Grazie.
08/02/2024, 23:18
Si, d'accordo, le risposte VERO/FALSO sono corrette, ma ci arrivi con delle conclusioni sbagliate.
Ad es. la 3) $\int y(t)\ dt = 4T^2$ che e' diverso da $2T$, quindi FALSO. Ma gli estremi di integrazione non c'entrano nulla (e sono anche sbagliati quelli che scrivi tu).
09/02/2024, 22:11
Ciao,
ma la $y(t)$ che ho scritto io è errata? Perché gli estremi di integrazione sono sbagliati?
Grazie.
10/02/2024, 04:53
davicos ha scritto:Ciao,
ma la $y(t)$ che ho scritto io è errata?
Si e' sbagliata.
Perché gli estremi di integrazione sono sbagliati?
Perche' la $y(t)$ e' diversa da quello che pensi (che ho copiato qui sotto).
$ y(t)= { ( 0rarrt<-T ),( 2T rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} $
11/02/2024, 22:42
Ciao,
va bene grazie, cerco di rifare il tutto.
Grazie ancora!!
12/02/2024, 10:20
Ciao davicos,
Sul forum sono già stati trattati alcuni dei più comuni casi di convoluzione fra segnali: puoi dare un'occhiata ad esempio
qui,
qui,
qui, ed anche
qui.
12/02/2024, 22:56
Ciao,
grazie mille me li leggerò!
Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000—
Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.