Autovettori di un operatore

Sia $e_n {n =+-1,+-2...}$ un set ortonormale completo in uno spazio di Hilbert H, e sia dato l'operatore T
T (e_n) = e_(n-1) - e_n$

Trovare gli eventuali autovettori di T.

Allora tra i vettori del set non ce ne sta neanche uno di autovettori. Presa una qualunque combinazione lineare finita di vettori del set non si ottiene mai un autovettore. Questo non basta per dire che non ci sono autovettori.

Pensavo a qualche serie strana, ma non mi viene in mente niente, qualche consiglio?

La cosa migliore è figurarsi per un attimo \( \displaystyle H=\ell^2 (\mathbb{Z} ) \) ed \( \displaystyle e^n=(\delta_k^n) \) (qui \( \displaystyle e^n \) è uno dei vettori che tu denoti con \( \displaystyle e_n \) ; uso l'apice al posto del pedice perchè metto in basso l'indice \( \displaystyle k \) del termine della successione), sicché ogni \( \displaystyle a=(a_k) \in \ell^2 (\mathbb{Z} ) \) si scrive in unico modo come \( \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k \) .*
Nel seguito uso \( \displaystyle \ell^2 \) al posto di \( \displaystyle \ell^2 (\mathbb{Z}) \) .

Il tuo operatore \( \displaystyle T \) come agisce sul generico elemento \( \displaystyle a \in \ell^2 \) ?
Usando la linearità e la continuità trovi:

\( \displaystyle Ta =T\left( \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k\right) \)
\( \displaystyle =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ Te^k \)
\( \displaystyle =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ (e^{k-1} -e^k) \)
\( \displaystyle =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^{k-1} -\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k \)
\( \displaystyle =-a+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k+1}\ e^k \) ;

detti \( \displaystyle S:\ell^2 \ni a=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k \mapsto \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k+1}\ e^k \in \ell^2 \) l'operatore di shift a sinistra** ed \( \displaystyle I:\ell^2 \ni a \mapsto a\in \ell^2 \) l'identità, il tuo operatore si scrive come \( \displaystyle T=S-I \) .

Per cercare gli autovalori e gli autovettori di \( \displaystyle T \) , devi stabilire se esistono valori del parametro \( \displaystyle \lambda \) tali che l'equazione:

\( \displaystyle Ta=\lambda a \)

abbia soluzioni \( \displaystyle a \) non banali; ciò equivale a dire che devi determinare \( \displaystyle \lambda \) in modo che l'equazione:

\( \displaystyle Sa=(\lambda +1) a \)

abbia soluzioni \( \displaystyle a \) non banali...
Pertanto, se già hai studiato il problema degli autovalori per lo shift a sinistra \( \displaystyle S \) sei a posto.


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* Ciò si può sempre fare per il teorema di Fischer-Riesz.

** Volendo rappresentare le cose con una matrice simbolica (con l'indice di posizione nella prima riga e la relativa "coordinata" nella seconda), l'operatore di shift a sinistra \( \displaystyle S \) opera come segue:

\( \displaystyle a=\begin{pmatrix} \ldots & -k & \ldots & -1 & 0 & 1 & \ldots & k &\ldots \\
\ldots & a_{-k} & \ldots & a_{-1} & a_0 & a_1 & \ldots & a_k &\ldots \end{pmatrix} \stackrel{S}{\mapsto}
\begin{pmatrix} \ldots & -k & \ldots & -1 & 0 & 1 & \ldots & k &\ldots \\
\ldots & a_{-k+1} & \ldots & a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & a_{k+1} &\ldots \end{pmatrix}=Sa \) ;

si vede che le "coordinate" di \( \displaystyle a \) vengono spostate di un posto verso sinistra da \( \displaystyle S \) .