Sottogruppi (HELP ME)

Sia G un gruppo abeliano e g $in$ G. Decidere se

S = ( h $in$ G : h^n = g^m per qualche n,m $in$ Z) $uu$ (e)

è un sottogruppo di G. Motivare la risposta.

Non riesco a capire come dimostrare che xy^-1 $in$ S

forse ho un'idea, che me sembra una cavolata, ma che vorrei cmq sottoporre a un vostro giudizio:

dunque io devo dimostrare che xy^-1 $in$ S. Io ho un solo elemento di S che è h, di cui nn sò nemmeno se l'inverso è in S...

Però sò che l'elemento neutro e $in$ S ed essendo e^-1 = e ovviamente anche l'inverso $in$ S. Dunque viene facile dimostrare che:

h e^-1 = h e = h ma noi sappiamo che h $in$ S per definizione di S...

in realtà mi sento di aver fatto un pò cme mi pare....

Uhm, hark non mi sembra che tu abbia molto chiaro il problema. Devi supporre che $h,k\in S$ e devi dimostrare che $hk^(-1)\in S$, e cioè che $(hk^(-1))^(i)=g^k$ per qualche $i,k\in ZZ$. Ti do una mano. Intanto: $k\in S$, dunque esistono $m,n\in ZZ$ tali che $k^n=g^m$ e dunque $k^(-n)=g^(-m)$. Prosegui tu...

ok ma se poi prendi un h in S, esisteranno dunque due interi n' e m' tali che h^n'=g^m'.
dunque (h^n' * k^-n) = g^m'-m.
questo mi fa concludere che allora h*k^-1 sta in S? se sì perchè??

No, non ti fa ancora concludere. Devi allora dire: $(hk^(-1))^(n'n)=(h^(n'n)k^(-n'n))=g^(m'n)g^(-mn')=g^(m'n-mn')$ e dunque ottieni che $hk^(-1)\in S$.

ma chi ti permette di scrivere (hk^-1)^n'n=(h^n'n*k^-n'n)?
le basi e gli esp sono diversi.

In un gruppo abeliano vale che $(ab)^n=a^nb^n$

si io dicevo che n e n' sono diversi e anke h k lo sono quindi nn poui passare da (h^n' * k ^-n) a (hk^-1)^n'n

Ma io non ho fatto il passaggio che hai scritto tu, infatti.