04/09/2007, 17:33
04/09/2007, 17:51
04/09/2007, 18:06
luca.barletta ha scritto:$x-=y^((p+1)/4) (modp)$, se $y$ ammette radici quadrate modulo p allora queste sono $+-x$, altrimenti $-y$ ammette radici quadrate $+-x$.
se $y$ ammette radici quadrate modulo p
04/09/2007, 18:08
04/09/2007, 22:20
luca.barletta ha scritto:$x-=y^((p+1)/4) (modp)$, se $y$ ammette radici quadrate modulo p allora queste sono $+-x$, altrimenti $-y$ ammette radici quadrate $+-x$.
05/09/2007, 09:19
+Steven+ ha scritto:Ok,grazie
Comunque la soluzione a
$x^2\equiv71(mod77)$ è
$x=15+77m$
Non sono sicuro di comprendere bene questa fraseluca.barletta ha scritto:$x-=y^((p+1)/4) (modp)$, se $y$ ammette radici quadrate modulo p allora queste sono $+-x$, altrimenti $-y$ ammette radici quadrate $+-x$.
Intendi dire: se il secondo membro ($y^((p+1)/4)$) ha esponente pari, allora le soluzioni sono $y=+-x$ ?
Posto l'esempio di prima, così magari mi fai vedere lì
$x^2\equiv5(mod11)$
$x^2\equiv1(mod7)$
$x\equiv5^3(mod11)$
$x\equiv1(mod7)$
Ultima cosa: puoi dirmi da dove discende tale algoritmo? Teorema, lemma, ecc.
05/09/2007, 11:09
luca.barletta ha scritto:+Steven+ ha scritto:Se hai già studiato il simbolo di Legendre sai che
$(y/p)={(+1, " se " x^2-=y(modp) " ha soluzione"),(-1, " se " x^2-=y(modp) " non ha soluzione"):}$
quindi se $(y/p)=+1$ allora $+-x$ sono le radici quadrate di y modp, altrimenti se $(y/p)=-1$ hai anche che $-(y/p)=+1$ e quindi $+-x$ sono le radici quadrate di -y modp. Questo in generale.
Le radici $+-x$ si possono calcolare con quella formula che ho dato solo nel caso in cui $p-=3(mod4)$.
Nell'esempio:
$x^2-=5(mod11)$
$(5/11)=+1$, quindi $y-=+-5^3-=+-4 (mod11)$
Ok, molto chiaro, ti ringrazio tanto.Ne mancano altre 3. Posta tutto lo svolgimento.
Va bene.
Usando il teorema cinese del resto, giungiamo a
$x^2\equiv71(mod11)$
$x^2\equiv71(mod7)$
ovvero
$x^2\equiv5(mod11)$
$x^2\equiv1(mod7)$
Prendiamo la prima
Secondo quanto mia hai detto, risulta
$x\equiv+-5^3(mod11)->x\equiv+-4(mod11)$
Separandole
$x\equiv+4(mod11)$
$x\equiv-4(mod11)$
La prima restituisce
$x=-7-11alpha$ (1)
La seconda
$x=7-11beta$ (2)
La seconda congruenza del sistema è
$x^2\equiv1(mod7)$ che ammette soluzoni perchè 1 è residuo quadratico modulo 7
perciò
$x\equiv+-1(mod7)$
Sdoppiando
$x\equiv+1(mod7)$
$x\equiv-1(mod7)$
La prima mi dà
$x=1-7lambda$ (3)
La seconda
$x=-1-7gamma$ (4)
A questo punto, dal momento che mi dici che le soluzione devono essere 4, mi par d capire che devo "combinare la
(1) con la (3), poi con la (4), poi la (2) con la (3) e poi con la (4).
Confermi?Questa proposizione discende principalmente dal teorema di Fermat. Se vuoi ti posto il ragionamento.
05/09/2007, 12:53
+Steven+ ha scritto:
A questo punto, dal momento che mi dici che le soluzione devono essere 4, mi par d capire che devo "combinare la
(1) con la (3), poi con la (4), poi la (2) con la (3) e poi con la (4).
Confermi?
Questa proposizione discende principalmente dal teorema di Fermat. Se vuoi ti posto il ragionamento.
Va bene, se vuoi postami anche solo un link dove tratta la cosa, così magari posso generalizzare anche ai casi in cui
$p\equiv1(mod4)$
05/09/2007, 14:01
05/09/2007, 14:10
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