Limite senza derivate & co.

Buongiorno a tutti\e\*!

Purtroppo 'stamattina mi sono svegliato e non mi ricordo più:

• delle derivate;
• degli sviluppi in serie di potenze di Taylor & MacLaurin;
• e pure degli integrali.

Come posso calcolare il seguente limite \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x\)?

La butto lì.

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Noto che $0<xlnx<x forall0<xleqe$

Definisco $f,g:(0,e]->RR$
Con $f(x)=xlnx,g(x)=x$

Ora poiché $0<xlnxleqx,forallx in(0,e]$ si conclude per i carabinieri

Poiché $forallepsilon>0existsdelta>0:0<xlnx<epsilon, forallx inB_o(0,delta[cap(0,e]$

Spero di non aver detto fesserie.

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Io ricordo che \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty\), quindi non può essere \(\displaystyle0<x\ln x\) in un intorno destro dello \(\displaystyle0\)!

Ritoccando il ragionamento di anto forse funziona ...

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$xlnx=(lnx)/(1/x)$


$ln(e^(-1))/(1/e^(-1))=(-1)/e^1$

$ln(e^(-2))/(1/e^(-2))=(-2)/e^2$

$ln(e^(-3))/(1/e^(-3))=(-3)/e^3$

$0<e^(-3)<e^(-2)<e^(-1)<1$

$0>(-3)/e^3>(-2)/e^2>(-1)/e^1> -1$

Credo possa funzionare anche il procedere in questo modo.

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Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R} \) la funzione definita da \(\displaystyle f(x)=x\log(x) \). Si ha \(\displaystyle \lim_{\xi\rightarrow0}f(\xi)=\underset{\xi\in]0,\frac{1}{e}[}{\lim_{\xi\rightarrow0}}f(\xi) \) in quanto \(\displaystyle 0 \) comunque aderente alla restrizione.

Per ogni \(\displaystyle \xi_1,\xi_2\in]0,\frac{1}{e}[\) con \(\displaystyle \xi_1<\xi_2 \) si ha \(\displaystyle f(\xi_1)=\xi_1\log(\xi_1)>\xi_2\log(\xi_2)=f(\xi_2) \), dunque \(\displaystyle f \) è decrescente in senso stretto. Inoltre, \(\displaystyle \sup img(f)=0 \) in quanto per ogni \(\displaystyle \xi\in]0,\frac{1}{e}[ \) si ha \(\displaystyle f(\xi)=\xi\log(\xi)<0 \).

Ora, si dimostra che data una generica \(\displaystyle f:dom(f)\rightarrow\overline{\mathbb{R}} \) una funzione decrescente con \(\displaystyle dom(f)\subseteq{\overline{\mathbb{R}}} \) e \(\displaystyle dom(f)\neq\emptyset \), allora risulta \(\displaystyle \inf dom(f)\notin dom(f)\Rightarrow\lim_{\xi\rightarrow\inf dom(f)}f(\xi)=\sup img(f) \).

Ne segue che \(\displaystyle \underset{\xi\in]0,\frac{1}{e}[}{\lim_{\xi\rightarrow0}}f(\xi)=\sup img(f)=0 \) e la tesi.

Ultima modifica di luca97xd il 23/02/2017, 21:38, modificato 1 volta in totale.

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Noto che $0<xlnx<x forall0<xleqe$ [...]

Occhio anto_zoolander: $ln(x)$ è negativo per x positivo ma minore di 1.

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$x·ln(x)$ è lo stesso di $ln(x^x)$. Supponiamo $x = 1/n$ con n molto grande.
Al tendere di $n$ a $+∞$ $(1/n)^(1/n)$ tende a 1 (da sinistra) e quindi il suo logaritmo tende a 0 (dalla parte negativa).

Per esempio, per $x = 1/10^9$ si trova $ln(x) =ln(1/10^9) = -9·ln(10)$ = $-20,723 ...$ e quindi
$1/10^9 · ln(1/10^9) =1/10^9 · (-20,723 ...) = -0,000000020723 ...$

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PostScriptum: ho trasformato il logaritmo esprimendo $x$ in forma esponenziale.
Il modo più immediato è porre $ x = e^{-y} = 1/e^y $ che dà $ x ln x= - y/e^y $.
Per $ y \rightarrow \infty $, $ y/e^y$ ha un limite arcinoto di tipo $ \infty / \infty $ che vale zero.
Ma ho preferito operare con potenze intere di 10 per arrivare ad una successione di tipo $n/10^n$.

Pongo $ \quad x=q/10^n \quad $ con $ \quad n \quad $ naturale e $ \quad q \quad $ reale positivo

Calcolo $ \quad x \ln x \quad = \quad q/10^n (\ln q - n \ln(10)) \quad = \quad (q \ln q)/10^n - q \ln(10) n/10^n$

Per $ \quad n \rightarrow \infty \quad $ entrambi gli addendi tendono a zero, evidentemente, per qualsiasi $ \quad q \quad $ che si può scegliere a piacere nell'intervallo $ \quad 1\le q \lt 10 \quad $ senza perdere in generalità.

@luca97xd

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Di sicuro \(\displaystyle\sup_{\textstyle x\in\left]0,\frac{1}{e}\right[}f(x)\leq0\): perché è proprio \(\displaystyle0\)?!

@Erasmus_First Più che una dimostrazione mi sembra un'argomentazione...

@veciorik Dimostrazione spaventosamente semplice: sono sbalordito!

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considero $a_n=n/e^n forallninNN$

Ora per il criterio del rapporto $lima_(n+1)/(a_n)=1/e<1$
Per tanto $a_n->0$

Quindi $forallepsilon>0existsn_0inNN:|a_n|<epsilon foralln>n_0$

In corrispondenza di $n_0$ esisterà un $x_0geqn_0$ tale che,

$forallepsilon>0existsx_0>0:|f(x)|<epsilon forallx>x_0$
Con $f(x)=x/e^x$

Se per assurdo così non fosse otterremmo una contraddizione ogni volta che $x=n>n_0$
Ovviamente il limite richiesto si ottiene con il cambiamento di variabile $y=e^x$

Spero di aver usato correttamente la contraddizione.

Sennò si può fare con un cambio di variabile $x=1/y$ e con le proprietà dei logaritmi il limite diventa: $\lim_{y \to +\infty} -lny/y$, questo limite te lo ricordi o stamattina te lo sei dimenticato insieme alle altre cose?