Integrale di Linea "nel caso Infinito-Dimensionale"

Salve,tempo fa feci una domanda su come ottenere un funzionale,partendo dal primo membro dell'equazione di Euler-lagrange associata.Inizialmente però posi male la domanda,non conoscendo la differenza tra le equazioni di E-L e la variazione prima.E quindi mi dissero che se volevo ricavarmi un funzionale partendo dalla sua variazione prima avrei dovuto generalizzare il concetto di integrale di linea al caso infinito-dimensionale(il link del topic è questo:https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=173525).Alla fine spiegai l'errore che feci e trattammo il caso delle equazioni,dicendomi che non c'era un metodo preciso,tuttavia mi rimase un dubbio:Come si estende il concetto di integrale di linea al caso infinito dimensionale?
Se non vi dispiace potreste aiutarmi?

p.s:ultimamente mi sembra quasi come se tutti cercassero di evitare i messaggi che pongo,e mi piacerebbe sapere il perché.

Vi prego di aiutarmi,lo so che a pochi interessa,ma io non riesco proprio a trovare soluzione,è da giorni che questo dilemma mi perseguita,mi ha reso difficile dormire e ora anche dopo aver fatto tante ricerche non sono riuscito a trovare niente.Quindi se il motivo per cui non rispondete c'entra con la mia scarsa preparazione,vi prego di rispondere almeno a questa domanda,cercherò di farsì che questa sia una delle ultime di analisi superiore,che vi porrò,finché non avrò studiato tutte le basi degli altri rami della matematica ed aver ristudiato in modo più approfondito tutti i concetti di analisi base e superiore.Spero nel vostro aiuto come mia ultima speranza di placare questa mia curiosità riuscendo a capire questo argomento.

Più che un integrale di linea in infinite dimensioni, per interpretare correttamente le equazioni di Eulero-Lagrange ti serve una nozione di integrale su uno spazio di cammini. Questo argomento è abbastanza classico e sta nei libri di calcolo delle variazioni, o di fisica matematica abbastanza astratti. In effetti nel linguaggio giusto le equazioni di EL diventano l'equazione delle geodetiche in un opportuno spazio di curve: le soluzioni di tale equazione, cioè i moti dinamicamente possibili di un sistema retto da quelle equazioni, sono le curve (cioè le serie parametriche di configurazioni del tuo sistema) che istante per istante minimizzano il funzionale di azione del tuo sistema meccanico; questo è un modo moderno di rileggere il principio di Maupertuis.

Grazie per la risposta e scusami se ti rispondo dopo tanto,è che sono stato in vacanza e quindi non potevo rispondere.Ho letto ciò che hai scritto e ho fatto molte ricerche,però quello che non ho trovato e che non riesco ancora a capirlo è come farlo in modo pratico.Per esempio,presi i seguenti funzionali: \( I[y]=1 \) , \( J[y]=\int_{\Omega}\frac{1}{y}d\vec{x} \) e \( K[y,z]=\int_{\Omega}\frac{z'+y'}{y+z}d\vec{x} \) ;come faccio "a farne l'integrazione sui cammini"?

Non si può studiare matematica senza partire dall'inizio: l'effetto, altrimenti, è questo spaesamento, queste domande assurde e mal poste (e la tua incapacità di capire perché lo siano: come fa ciò che hai scritto ad avere un senso finché non specifichi cose come chi è $\Omega$, su che dominio sono definite $y,z$ (come funzioni di quante e quali variabili?), chi è \(\vec x\) (e quante componenti possiede?))

Quello che ti impedisce di capire la matematica che ti ostini senza risultato a studiare non è non aver precisato questi dettagli; piuttosto, è la tua incapacità di capire che avresti dovuto precisarli.

La domanda, scritta decentemente, dovrebbe suonare come: supponiamo che \(\vec x\) indichi un generico vettore di \(\mathbb R^n\) e che \(y : \mathbb R^n \to \mathbb R\) sia una funzione, mai nulla e $C^1$ in $\Omega \subseteq \mathbb R^n$ (facciamo che sia compatto, altrimenti integrarci sopra diventa un problema piu sottile). Consideriamo poi il funzionale \(J : y\mapsto \int_\Omega \frac{1}{y}d\vec x\) e un cammino $\gamma : [0,1] \to C^1(\mathbb R^n,\mathbb R) : t\mapsto y_t$. Come si calcola l'integrale di $J$ lungo $\gamma$?

Non credevo che le domande andassero poste in modo così articolato,comunque quello che intendevo è quello che hai scritto. Se non ti dispiace potresti,per favore,spiegarmi come calcolare gli integrali dei primi due funzionali scritti prima,lungo il cammino
\( \gamma:[a,b]\rightarrow C^1(R^n,R):t\mapsto y_t \)
e per l'ultimo funzionale lungo il cammino
\( \gamma:[a,b]\rightarrow C^1(R^{2n},R):t\mapsto y_t,z_t \) (spero di aver scritto bene)
dove $z$ è una funzione continua in $\Omega$ e mai nulla a valori reali.

Per favore,ho anche provato a distrarmi ma il pensiero mi assilla,qualcuno potrebbe aiutarmi,per favore,se non vi reca disturbo, a rispondere alle domande poste in precedenza in questo topic?

Càlmati, e studia. Ma roba alla tua portata, non questo.

lo so che dovrei studiare roba alla mia portata,ma prima di farlo volevo capire quest'ultimo argomento,quindi per favore,aiutami,non so più cosa fare per capire questo argomento.

non so più cosa fare per capire questo argomento.

Studiare altro di preliminare, e che ti aiuti a capire di cosa stai parlando