Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
02/09/2017, 15:39
Sia $C subset RR^3$ una circonferenza, e sia $X$ lo spazio topologico ottenuto da $RR^3$ identificando tutti i punti di $C $. Dimostrare che $X $ non è una varietà.
02/09/2017, 23:18
In $R^2$ accade che identificando due punti distinti venga uno spazio quoziente in cui l'aperto contenente il "nuovo" punto è semplicemente connesso ma non è omeomorfo ad alcun aperto semplicemente connesso di $R^2$. Per $R^3$ dovrebbe accadere una cosa simile.
02/09/2017, 23:25
Se chiami $x_0$ la classe di equivalenza di $C$ in $X$, ogni intorno $U$ di $x_0$ non è omeomorfo a $\mathbb R^3$
1 perché ha indice di connessione diverso (rimuovi una certa sottovarietà di dimensione 1 ed $U$ si sconnette, mentre $\mathbb R^3$ no).
2
07/09/2017, 20:52
Non mi è chiaro: se sconnetti $U$, a maggior ragione sconnetti $U setminus \{x_0\}$, che è un aperto di $RR^3$, però come fai con una varietà di dimensione $1$?
07/09/2017, 21:32
Ho detto "una certa", non la tua preferita
quale secondo te?
10/09/2017, 01:06
Era quella la mia domanda, visto che mi sembrava di aver dimostrato che non esiste
11/09/2017, 14:35
@spugna
La soluzione ce l'hai?
11/09/2017, 15:32
Sì (o almeno credo
)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se $x_0$ avesse un intorno omeomorfo a $RR^3$, in particolare avrebbe un intorno semplicemente connesso che rimane tale se si rimuove $x_0$, cosa che però non può succedere perché in ogni intorno di $C $ in $RR^3$ c'è un arco non banale in $RR^3 setminus C $.
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