Discussioni su argomenti di matematica di scuola secondaria di secondo grado

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Calcolo di limite forma indeterminata

12/11/2018, 10:58

Sarei grato se qualcuno mi aiutasse con il seguente limite:

$ lim_(x -> 2+) ln(x-2)/ln[e(expx) - e(exp2)] $

Grazie in anticipo.

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

12/11/2018, 13:37

Ciao, vedo che è il tuo primo messaggio, perciò, benvenuto al forum e buona permanenza.
Notevole e molto apprezzato anche lo sforzo di usare il linguaggio delle formule. :smt023
L'unica cosa ê che secondo me non si capisce bene il denominatore, perciò ti chiedo di disambiguare (termine che prendo in prestito da Wikipedia :lol: 8-) ).
giodicre ha scritto:$ lim_(x -> 2+) ln(x-2)/ln[e(expx) - e(exp2)] $

Intendi
$lim_(x->2^+) \frac{ln(x-2)}{ln(e^(x-2))}$
oppure
$lim_(x->2^+) \frac{ln(x-2)}{ln(e^x-e^2)}$
o ancora
$lim_(x->2^+) \frac{ln(x-2)}{ln(e\cdot 10^x-e \cdot 10^2)}$
:?:

L'ultima deriva da reminiscenze mie di corsi di informatica delle superiori... :roll:

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

12/11/2018, 14:46

Grazie. La seconda. Scusami ma devo acquisire più familiarità con l'editor delle forme. Grazie ancora.

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

12/11/2018, 19:26

giodicre ha scritto:Scusami ma devo acquisire più familiarità con l'editor delle forme. Grazie ancora.

Non preoccuparti, ti sei appena iscritto e sei su una buona strada. :wink:

Tornando all'esercizio, non mi viene un modo di risolverlo che sia diverso dall'usare l'Hopital due volte intervallandolo da vari calcoli... Non so se sia corretto lo svolgimento o se si richiede di usare limiti notevoli e/o altro. Casomai lascio ad altre risposte (e seguo anch'io). :|

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

12/11/2018, 21:35

Grazie comunque. Gentilissimo.

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

14/11/2018, 19:30

Ci ho pensato altri due giorni e non mi viene un'altra strada - poi non ha risposto nessuno, magari si risolve così e basta... :P
Hai già fatto l'Hopital per i limiti?

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

15/11/2018, 01:22

Edit: errato, per i motivi evidenziati da @anto_zoolander
Così è corretto?
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln(e^x-e^2)}=lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(\frac{e^x}{e^2}-1)]}=lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(e^{x-2}-1)]}=lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(x-2)\frac{e^{x-2}-1}{x-2}]}$
Ora $x-2\to0^+$ per cui puoi applicare il limite notevole dell'esponenziale $lim_{f(x)\to0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1$, quindi:
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(x-2)]}$
per le proprietà dei logaritmi:
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{lne^2+ln(x-2)}=lim_{x\to2^{+}}(\frac{lne^2+ln(x-2)}{ln(x-2)})^{-1}=lim_{x\to2^{+}}(\frac{lne^2}{ln(x-2)}+\frac{ln(x-2)}{ln(x-2)})^{-1}=(0+1)^{-1}=1$
Ultima modifica di Alexandros543 il 15/11/2018, 13:56, modificato 1 volta in totale.

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

15/11/2018, 12:44

C'è un problema ... quando tu "ribalti" la frazione nell'ultima riga, assumi implicitamente che il limite sia $1$ ...
Il cane che si morde la coda :D

Cordialmente, Alex

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

15/11/2018, 13:23

axpgn ha scritto:C'è un problema ... quando tu "ribalti" la frazione nell'ultima riga, assumi implicitamente che il limite sia $1$ ...
Il cane che si morde la coda :D

Cordialmente, Alex

Immaginavo ci fosse un errore :roll: (anche se non pensavo fosse proprio lì)
Perché non posso farlo? Perché, facendolo, assumo che il limite sia già 1?

E così?
(...) per il teorema del limite del reciproco:
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{lne^2+ln(x-2)}=\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}\frac{lne^2+ln(x-2)}{ln(x-2)}}=\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}\frac{lne^2}{ln(x-2)}+\frac{ln(x-2)}{ln(x-2)}}=\frac{1}{0+1}=1$

Re: Calcolo di limite forma indeterminata

15/11/2018, 13:32

In genere non puoi perchè $ln(e^2(e^x/e^2-1))=2+ln(e^(x-2)-1)$ e non puoi usare le equivalenze asintotiche in una somma. La questione è un po' sottile, se ti interessa ti spiego il motivo, ma in genere le equivalenze si usano per prodotti e non somme, perchè c'è un pezzettino che rimane ma di cui non ne conosci l'esistenza ancora
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