Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
04/02/2020, 17:48
ciao a tutti! ho una domanda teorica da proporre:
la similitudine implica ordine di nilpotenza? ossia, se due matrici sono simili hanno anche lo stesso ordine di nilpotenza? non ho trovato nulla a supporto né a confutazione di ciò, mi sembrava di averlo letto su un libro ma credo di aver male interpretato a questo punto, e da sola non riesco a dimostrarlo, mi chiedevo se qualcuno mi potesse aiutare
05/02/2020, 11:16
Non mi sembra strano, Sergio. La matrice \(A\) ha "ordine di nilpotenza" \(k\) se \(A^k=0\) e \(A^{k-1}\ne 0\). Con questa definizione, è immediato che \(B=PAP^{-1}\) ha lo stesso ordine di nilpotenza di \(A\), perché
\[
B^{h}=PA^{h}P^{-1}, \quad \forall h\in \mathbb N.\]
05/02/2020, 11:27
Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico; perciò una matrice quadrata di ordine $n$, simile a una nilpotente ha polinomio caratteristico \(X^n\). Quindi una matrice simile a una matrice nilpotente è nilpotente (con lo stesso ordine di nilpotenza: Hamilton-Cayley).
05/02/2020, 11:48
@Sergio: se \(A^k\ne 0\) per ogni \(k\), potremmo dire che l'ordine di nilpotenza è infinito, e questa informazione si preserva per similitudine, per il motivo semplice che dicevamo prima.
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