Omeomorfismi

Ciao a tutti, vi ringrazio in anticipo per il vostro tempo. Sto cercando di svolgere questo esercizio sugli omeomorfismi, ma non so come muovermi.

Su $RR$ siano $tau$ e $mu$ due topologie così definite:

• $tau$ è la famiglia costituita da tutti i sottoinsiemi $A sube RR $ nei quali per ogni $ x in A $ esiste $ y > x$ tale che $[x,y[ sube A $;
  
  
• $mu$ è la famiglia di sottoinsiemi $V sube RR$ per i quali per ogni $ y in V$ esiste $x < y $ tale che $]x,y] sube V$.

Provare che tali spazi sono omeomorfi.

Non riesco a trovare una funzione che mi permetta di raggiungere tale scopo. L'unica idea che mi è venuta è di lavorare sulle basi, rispettivamente formate dagli intervalli $ [a,b[$ e $]a,b] $ tramite la funzione $ f(x)=b-x+a $ ma non h idea di come considerarla su tutto $RR$.

Ringrazio chiunque abbia voglia di darmi una mano

Ultima modifica di gugo82 il 21/04/2020, 15:58, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemate le formule ed il testo.

Ciao!
Avrei solo bisogno di un chiarimento teorico.

Dati due spazi topologici è possibile, dimostrando l'esistenza di un omeomorfismo tra generici elementi delle due basi, generalizzare affermando che anche gli spazi stessi sono omeomorfi?

Grazie mille

Rimando la risposta risposta perché unisco un ulteriore domanda. Quindi rivolgendomi ai moderatori, potreste cancellare la prima copia? Grazie

Ti ringrazio innanzitutto per la risposta.

Sono riuscita a intuire quello che mi suggerisci di fare. Ma la funzione che ho trovato coinvolge gli estremi dell'intervallo per far si che il punto si "ribalti" (che a differenza di quella che ho scritto all'inizio dilata anche l'intervallo) . Ma ovviamente così facendo non ottengo una biezione da $ RR in RR $ ma da $ [a, b) a (c, d] $.

Oppure basta provare l'omeomorfismo tra due generici elementi della base per stabilire che sono omeomorfi? In caso contrario, avresti suggerimenti su come proseguire? Grazie mille

[j18eos]

@Twister_ In altre parole: hai definito la topologia di Sorgenfrey... molto carina; e segui l'indizio di arnett

Ultima modifica di j18eos il 27/04/2020, 21:26, modificato 1 volta in totale.

Infatti la funzione che ho trovato associa ad x:

$ f(x) = d + (c-d) / (b-a) (x-a) $

Ma vale per gli intervalli $ (a, b] $ e $[c, d)$ , che pur essendo arbitrari elementi delle basi, non mi forniscono una mappa da $ RR $ in $ RR $. Come mi è possibile generalizzarla?

Grazie mille

l'indicio

Questo potrebbe essere latino o spagnolo

Non me n'ero proprio accorto

Grazie mille a tutti. Effettivamente @arnett stavo cercando inutilmente qualcosa di molto più complicato.

Posto nuovamente qui perché ho un quesito riguardante sempre gli omeomorfismi. Il testo enuncia:

Sia $X=ZZ$ dotato della topologia $\tau$$= {A \subset X | 0∉A $ oppure $X \backslash A $ è finito $}$ e
$Y = {0} \cup { 1/k \in RR | k \in ZZ\backslash {0}}$ dotato della topologia indotta da quella euclidea.
Provare che $X$ e $Y$ sono omeomorfi

Ho pensato subito alla funzione $f: X \rightarrow Y$ definita da $f(x)=1/x$ e $f(0)=0$. Solo che ora ho difficoltà a dimostrare che questa funzione è effettivamente un omeomorfismo (se lo è). Per dimostrarne la continuità definisco le basi formate dai singoletti? O consigliereste altro, come funzioni o procedimenti?

Grazie mille in anticipo per l’aiuto

Sarebbe meglio aprire un nuovo thread.

Lo posto subito come nuovo argomento, grazie