Griglia quadrata

No, sono troppi.
Hai visto quanti ne ho disegnato nel mio hint (per $n=2$)?

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Allora dovrebbero essere $2n-1$

Sì, giusto ma senza dimostrazione è solo una congettura

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Quella non è una griglia "completa", ti sembra una scacchiera?

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Si disegna il quadrato individuato dai vertici $(0,0)-(n,n)$ e poi le seguenti coppie di quadrati:
$Q_{1k}:{(0,0)-(k,k)}$ e
$Q_{2k}:{(k,k)-(n,n)}$
con $k \in {1,n-1}, n\ge 2$.
In totale sono $2(n-1)+1 = 2n-1$ quadrati.

Disegnare una coppia di quadrati $(0,0)-(k,k)$ e $(k,k)-(n,n)$, se e' gia' presente il quadrato $n \times n$ significa disegnare i segmenti:
$(0,k)-(n,k)$ e
$(k,0)-(k,n)$
con $k \in {1,n-1}, n\ge 2$
che formano la griglia completa all'interno del quadrato $(0,0)-(n,n)$.

Benissimo, bravo

Però manca sempre il pezzo che dimostri che quello è il minimo, che non si possa fare meglio