Due domande sulla conica

Ciao, vorrei poter discutere con voi su alcuni esercizi di una prova di esame della mia uni, più che altro sebbene abbia preparato tutta la teoria e fatto esercizi alcuni punti (seppur stupidi) mi disarmano e non so davvero svolgerli.

Cerco quindi un confronto con qualcuno lasciando il primo esercizio qui: (la prova si compone di vari esercizi e alcuni sottoesercizi, tralascerò le parti che capisco cercando di discutere quelle che non so fare).

Nel piano rispetto al riferimento cartesiano R(O,xy) ho la conica:
C: $13x^2+7y^2-8xy+2x+4y-4=0$

Dopo averla classificata, traslata ruotata ecc ho capito essere ellisse (soluzione giusta).

Ora le domande:
1) come cambia la conica se variamo il valore del termine noto?
2) è possibile eliminare uno dei termini dell'equazione in modo che si abbia una iperbole?

SOL:
1)io ho pensato che preso $c$ termine noto, con c>0 se c>4 l'ellisse si ingrandisce poiché avro qualcosa del tipo: $x^2/a+y^2/b=c$ quindi $x^2/(ca)+y^2/(cb)=1$ Quindi a parità di a,b fissi, ho valori a denominatore maggiori -> le x e y devono crescere.

D'altra parte se mi porto con c<0 potrei anche arrivare per certi valori ad avere una ellisse immaginaria giungendo a qualcosa tipo $x^2/a+y^2/b=-1$ ma non capisco bene come determinare tali valori.

2) Ho pensato che portandomi in forma matriciale riscrivo la conica:

$((x),(y))=(x,y)*((13,-4),(-4,7))*((x),(y))+(2,4)*((2),(4))-4=0$
Ora
- se tolgo i valori con $x^2$ ho la matrice 2x2: $((0,-4),(-4,7))$ e trovo gli autovalori con:
det($((0-lambda,-4),(-4,7-lambda))$)=0, cioè avrò la soluzione delle eq. di II grado: $7+-sqrt(7^2+4*16)$ ma il valore sotto radice è maggiore di 7 quando lo estraggo da essa, quindi cambia la segnatura => ho iperbole

idem per $y^2$

- se tolgo xy tanto meno

- se tolgo i valori in x, y non cambio segnatura e cosi se tolgo 4.

Sono giusti i vari casi o posso renderli meglio?

In poche parole vorrei capire come rispondere in modo formalmente migliore ai due punti, sempre pensando la mia intuizione sia quantomeno giusta (non so)


Seugiranno altri esercizi (3) nel thread GAL del forum. Spero di non rompervi troppo le scatole però voglio proprio capire.

Ultima modifica di periodo_vettoriano il 09/09/2023, 21:15, modificato 1 volta in totale.

Puoi studiare (e quindi classificare) la chiusura proiettiva di tal conica;

oppure puoi studiare direttamente la matrice \(3\times3\) ad essa associata: sai costruire quest'ultima?

Ehm purtroppo il mio corso finiva con "cenni" sulle coniche che verranno ripresi nel secondo corso, quindi non ho idea dei due punti da te proposti.... forse li vedrò poi?

Seguendo invece la traccia delle mie idee non si può dire qualcosa?

In ongi caso forse il titolo era fuorviante, io volevo rispondere a:
Ora le domande:
1) come cambia la conica se variamo il valore del termine noto?
2) è possibile eliminare uno dei termini dell'equazione in modo che si abbia una iperbole?
(si veda mia paerte dopo SOL per le risposte)

La clasificazione di per sé col metodo da noi adottato l'ho già svolta.

Un up per le conoche! yee

Ri-eccomi qua!

Io ripeterei il calcolo della riduzione della forma canonica di \(C\), scrivendo il generico termine noto \(c\in\mathbb{R}\), e studiando i possibili casi.