Dubbio fasci di parabole

Buongiorno,
ho un piccolo dubbio sui fasci di parabole, nello specifico sulle generatrici di una parabola.
Premetto che non ho mai trattato questo argomento relativo alla parabola.
L’esercizio fatto dalla prof è il seguente:
"determina le generatici della seguente funzione"
$y=kx^2+(1-k)x-2k$

svolge banalmente i calcoli e poi porta tutto a primo membro
$y=kx^2+x-kx-2k$

$y-kx^2-x+kx+2k=0$

raccoglie k

$y-x+k(-x^2+x+2)=0$

a questo punto scrive che la prima generatrice è $y=x$ (primo pezzettino isolando la y)
e la seconda generatrice è $-x^2+x+2=0$
trasforma la seconda in $x^2-x-2$
scompone poi la seconda generatrice in fattori primi $(x-2)(x+1)$ e pertanto le rette generatrici sarebbero
$x=2, x=-1$

perdonate l'estrema ignoranza; capisco quando si tratta del fascio di rette dove prendo la prima retta e moltiplico per k volte la seconda, ma in questo caso cosa ci azzeccano la bisettrice del primo e terzo quadrante, la retta $x=-1$ e la retta $x=2$ con tutte le ipotetiche parabole che potrei disegnare al variare del parametro k? a cosa mi servono le generatrici se tanto poi mi basta impostare qualche k e disegnare le parabole al variare del parametro? in aggiunta la seconda generatrice è una parabola, non potevo già disegnarla così? perchè scomporla in fattori primi.
Grazie mille

$y-x+k(-x^2+x+2)=0$

Se questo fosse un fascio di parabole dovrebbe esserci una $y$ racchiusa nella parentesi. A me viene in mente solo che per $k=0$ questa diventa $y=x$ per $k<0$ ha concavità verso il basso e per $k>0$ ha concavità verso l'alto.

scompone poi la seconda generatrice in fattori primi $(x-2)(x+1)$ e pertanto le rette generatrici sarebbero
$x=2, x=-1$

Proprio per questo non mi sembra un fascio di una retta ed una parabola, ma solo una parabola che dipende da un parametro $k$

scompone poi la seconda generatrice in fattori primi $(x-2)(x+1)$ e pertanto le rette generatrici sarebbero
$x=2, x=-1$

Proprio per questo non mi sembra un fascio di una retta ed una parabola, ma solo una parabola che dipende da un parametro $k$

la prof però ha disegnato queste due rette e non capisco perchè. Che senso ha?

Confermo che si tratta di un fascio di parabole: infatti sono infinite parabole, collegate da una formula che contiene un parametro in forma lineare (cioè $k$ non è elevato a potenza né altro di simile). Quando avrete maggiori conoscenze, scoprirete che l'insieme di due rette parallele fra loro è considerato una parabola con asse di simmetria parallelo alle rette; l'aspetto è diverso dal solito e per questo si dice che è una parabola degenere.
Può aiutarvi vedere la cose graficamente. Come facilmente verificabile, tutte le parabole del fascio passano per $A(-1,-1)$ e $B(2,2)$; al variare di $k$ cambia però la posizione del vertice che può uscire dall'alto o dal basso del disegno con $|k|$ abbastanza grande. In questi casi non vediamo più l'intera parabola, ma solo i suoi due archi, passanti uno per A e l'altro per B; all'aumentare di $|k|$ questi archi diventano sempre meno curvi e sempre più in verticale, fino a confondersi con le rette $x=-1$ e $x=2$, in cui degenerano quando $k$ è infinito.

Confermo che si tratta di un fascio di parabole: infatti sono infinite parabole, collegate da una formula che contiene un parametro in forma lineare (cioè $k$ non è elevato a potenza né altro di simile). Quando avrete maggiori conoscenze, scoprirete che l'insieme di due rette parallele fra loro è considerato una parabola con asse di simmetria parallelo alle rette; l'aspetto è diverso dal solito e per questo si dice che è una parabola degenere.
Può aiutarvi vedere la cose graficamente. Come facilmente verificabile, tutte le parabole del fascio passano per $A(-1,-1)$ e $B(2,2)$; al variare di $k$ cambia però la posizione del vertice che può uscire dall'alto o dal basso del disegno con $|k|$ abbastanza grande. In questi casi non vediamo più l'intera parabola, ma solo i suoi due archi, passanti uno per A e l'altro per B; all'aumentare di $|k|$ questi archi diventano sempre meno curvi e sempre più in verticale, fino a confondersi con le rette $x=-1$ e $x=2$, in cui degenerano quando $k$ è infinito.

Grazie mille, sinceramente mai fatto niente del genere a ragioneria. Da dove deduci che le parabole passano per i punti A e B? hai messo a sistema due parabole con k diversi?

Da dove deduci che le parabole passano per i punti A e B? hai messo a sistema due parabole con k diversi?

Sì. In questo caso ho trovato conveniente pensare alle due parabole generatrici e quindi al sistema
${(y-x=0),(-x^2+x+2=0):}$