Problema con parabola

Buon giorno. Avrei questo problema: nel piano euclideo con riferimento cartesiano $R = Oxy$ si consideri la parabola passante per il punto $P =(−5,8)$ ,avente vertice $V =(0,3)$ e asse la retta $r: 2x−y+3=0$.
Determinare una forma canonica della parabola e una rototraslazione che la riduce in tale forma canonica.

Per questo esercizio non ho proprio idea di quale concetto utilizzare dalla teoria delle coniche. Come imposto l'equazione di una parabola non in forma canonica? Una volta che ho quella, è facile determinare una rototraslazione per riportarla in forma canonica. Sapreste darmi un suggerimento sul primo punto?

Ti stanno praticamente servendo su un piatto d'argento sia seno e coseno della rotazione (deducibili dall'asse di simmetria) che il vettore traslazione (deducibile dal vertice), per scrivere la rototraslazione che riduce tale parabola in una forma canonica; il punto di passaggio ti permette di determinare anche la sua concavità.

Ok, il vertice in $(0,3)$ mi indica che la parabola è traslata di lungo y, dell'angolo so che è $alpha=arctg(2)$, quindi una rototraslazione sarà $((cosalpha,-sinalpha), (sinalpha,-cosalpha))+((0),(3))$. Ma una volta che ho questo, come faccio?

Per ridurre una generica parabola \(f(x,y)=0\) in una forma canonica del tipo: \[
u = av^2
\] è sufficiente servirsi della seguente rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
x_V \\
y_V \\
\end{bmatrix}.
\] In base ai dati a disposizione, devi sostituire i rispetti numeri a \(\cos\theta\), \(\sin\theta\), \(x_V\) e \(y_V\).
Come già sottolineato, l'asse di simmetria ci dà già seno e coseno, non serve esplicitare \(\theta\).

Ok, se non sbaglio dovrebbe essere $sinalpha=(2sqrt(5))/5$ e $cos(alpha)=sqrt(5)/5$. Quindi verrebbe
$[[x], [y]]=[[sqrt(5)/5u-(2sqrt(5))/5v],[2sqrt(5)/5u+sqrt(5)/5v+3]]$. Ma trovando x e y, sto trovando la forma canonica o la non canonica?

Se l'esercizio ti avesse assegnato la parabola tramite equazione cartesiana: \[
\alpha x^2+\beta y^2+\gamma xy+\delta x+\epsilon y+\zeta=0
\] applicando la trasformazione geometrica che hai correttamente determinato, ossia sostituendo al posto
di \(x\), \(y\) le rispettive espressioni dipendenti da \(u\), \(v\) e semplificando, avresti ottenuto un'equazione del tipo: \[
u = av^2
\] che è una forma canonica della parabola. D'altro canto, il testo dell'esercizio non sta richiedendo l'equazione cartesiana, non devi fare alcun conto brutto e puzzolente, ti basta determinare la rispettiva trasformazione.

Quindi, ora abbiamo che: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
at^2 \\
t \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] dove non ho fatto altro che parametrizzare la parabola in forma canonica ponendo \(v=t\), quindi \(u=at^2\). Quest'ultima relazione ci permette di sfruttare il dato ancora non usato, ossia \(P(-5,8)\). Forza, dai!

Bene, ora per determinare a, basta sostituire a $u=8$ e $t=-5$ e ottenere $a=8/25$. Quindi ottengo quella forma canonica ovvero $u=8/25v^2$, ma poi una seconda parte dell'esercizio mi chiede di scrivere l’equazione cartesiana della parabola e le coordinate del suo fuoco nel riferimento R. Quindi devo trovare l'equazione ottenuta da quella canonica applicando la rototraslazione

Tu saresti da appendere a testa in giù per qualche ora, ti passerebbe tutta 'sta fretta!

Il punto \(P\) è dato nel sistema di riferimento \(Oxy\), per cui hai \(x=-5\) e \(y=8\). Quindi...

Perdonami, tra x y u v e t mi sono confuso, dovrebbe essere correttamente $y^2=-64/25x$

Non ci siamo. Come da te calcolate, abbiamo le seguenti relazioni: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] le quali ci permettono di passare da \(f(x,y)=0\) a \(u=av^2\), quindi equivalgono a scrivere: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
at^2 \\
t \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix},
\quad t \in \mathbb{R}.
\] Queste sono le equazioni parametriche della parabola assegnata, dove però non conosciamo \(a \ne 0\).
D'altro canto, conosciamo un punto di coordinate \((x,y)=(-5,8)\), quindi che ce ne facciamo?