23/02/2024, 10:53
Mephlip ha scritto:@curioso54: Sbagli a risolvere le disequazioni. Osserva che, tenendo conto che \(r>0\), si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [r^2 \le r^2+z^2<4] \implies [r^2<4] \implies [0 < r < 2]
\]E si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [z^2<r^2+z^2<4] \implies [z^2<4] \iff [ \ |z| < 2 \ ]
\]Per determinare l'intervallo in cui varia \(z\), distinguiamo due casi su \(r\). Se \(0<r<1\), allora \(1-r^2>0\) e pertanto:\[
[1<r^2+z^2<4] \iff [1-r^2<z^2<4-r^2] \iff \left[\sqrt{1-r^2}<|z|<\sqrt{4-r^2}\right]
\]
Se invece \(1<r<2\), allora \(4-r^2>0\) e \(1-r^2<0\). Da quest'ultima, segue che \(z^2>1-r^2\) è vera per ogni \(z \in \mathbb{R}\) e quindi in questo caso si ha:\[
\left[1-r^2<z^2<4-r^2\right] \iff \left[z^2<4-r^2\right] \iff \left[ \ |z| < \sqrt{4-r^2} \right]
\]Ora, osserva che la funzione integranda e \(T\) sono pari in \(z\) (ossia, scambiando \(z\) con \(-z\) rimangono invariati sia funzione integranda sia insieme di integrazione), quindi l'integrale in esame è pari al doppio dell'integrale calcolato aggiungendo a \(T\) la condizione \(z>0\). Ma, con tale condizione aggiuntiva, è \(|z|=z\) e perciò le limitazioni su \(z\) sono \(\sqrt{1-r^2}<z<\sqrt{4-r^2}\) o \(0<z<\sqrt{4-r^2}\) per \(0<r<1\) o \(1<r<2\) rispettivamente.
Perciò, si ha:\[
\iiint_T \text{d}x\text{d}y\text{d}z=2 \cdot 2\pi \left[\int_0^1 \left(\int_{\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r+\int_1^2 \left(\int_0^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r\right]=\frac{28}{3}\pi
\]
In sostanza, il tuo errore è stato quello di trascurare delle condizioni aggiuntive su \(r\): hai dato per scontato che le condizioni di realtà delle radici fossero gli unici vincoli sull'intervallo in cui varia \(r\), ma ciò non è così (come puoi vedere nel passaggio "\(r^2<r^2+z^2<4\) implica \(0<r<2\)"). Per alcuni valori di \(0<r<2\), le limitazioni su \(z\) cambiano in accordo a quello che ho scritto su. In particolare, per alcuni valori ammissibili di \(r\) hai addirittura che \(1-r^2<0\) e quindi non puoi assolutamente estrarne la radice in questo contesto di analisi reale.
Se proprio non vuoi usare la parità su \(z\), basta ragionare similmente ma trovandosi in quell'inferno di casi che escono fuori dovendo considerare tutte le casistiche date dal valore assoluto su \(z\). Francamente, è un approccio decisamente masochista .
23/02/2024, 10:55
pilloeffe ha scritto:curioso54 ha scritto:Non sapevo fosse vietato postare immagini, l'ho fatto perché non sono molto familiare con LaTex.
Lo immaginavo, per questo ti ho scritto il codice per scrivere l'insieme $T$...curioso54 ha scritto:Il mio obiettivo qui è di arrivare al risultato utilizzando le cilindriche e capire dove sbaglio nei procedimenti.
Hai compreso bene quantopilloeffe ha scritto:non capisco perché fai la somma di quei due integrali: per trovare il volume dell'anello io farei la differenza dei volumi delle due sfere, non la somma
Generalizzando ed insistendo ad usare le coordinate cilindriche, cosa che fra l'altro io non farei perché è del tutto evidente che qui siano molto più convenienti le coordinate sferiche, farei così:
$V_{\text{anello}}(R_1, R_2) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{R_1}[\int_{-\sqrt{R_1^2 - \rho^2 }}^{\sqrt{R_1^2 - \rho^2}} \text{d}z] \rho \text{d}\rho - \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{R_2}[\int_{-\sqrt{R_2^2 - \rho^2}}^{\sqrt{R_2^2 - \rho^2}} \text{d}z] \rho \text{d}\rho = $
$ = (4\pi)/3 R_1^3 - (4\pi)/3 R_2^3 = (4\pi)/3 (R_1^3 - R_2^3) $
Ovviamente nel caso particolare $R_1 = 2 $ e $R_2 = 1 $ si ha:
$V_{\text{anello}}(2, 1) = (4\pi)/3 (2^3 - 1^3) = (4\pi)/3 (8 - 1) = (28\pi)/3 $
Invece con le coordinate sferiche:
$V_{\text{anello}}(R_1, R_2) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{\pi} sin\varphi \text{d}\varphi \int_{R_2}^{R_1} \rho^2 \text{d}\rho = (4\pi)/3 (R_1^3 - R_2^3) $
23/02/2024, 10:58
[quote]
[/quote]
23/02/2024, 11:01
23/02/2024, 11:14
curioso54 ha scritto:So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo
23/02/2024, 11:15
Mephlip ha scritto:Determinare l'intervallo in cui varia \(z\), distinguiamo due casi su \(r\). Se \(0<r<1\)...
23/02/2024, 11:17
pilloeffe ha scritto:curioso54 ha scritto:So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo
Bene, ma adesso l'hai capito?
Anche perché adesso tra le mie due soluzioni e quella di Mephlip l'abbiamo risolto in tre modi diversi...
23/02/2024, 11:19
pilloeffe ha scritto:curioso54 ha scritto:So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo
Bene, ma adesso l'hai capito?
Anche perché adesso tra le mie due soluzioni e quella di Mephlip l'abbiamo risolto in tre modi diversi...
23/02/2024, 11:29
pilloeffe ha scritto:curioso54 ha scritto:So come risolverlo con le sferiche ma a titolo di curiosità volevo risolverlo con le cilindriche e mi sono imbattuto in quel dubbio che non capivo
Bene, ma adesso l'hai capito?
Anche perché adesso tra le mie due soluzioni e quella di Mephlip l'abbiamo risolto in tre modi diversi...
23/02/2024, 11:38
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