Ciao Marthy_92,
Innanzitutto riscrivo per bene i due sistemi:
\begin{equation}
\begin{cases}
x^2 \dfrac{\partial t}{\partial x} + xu \dfrac{\partial t}{\partial u} = 0\\
x^2 \dfrac{\partial v}{\partial x} + xu \dfrac{\partial v}{\partial u}= 1
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x \dfrac{\partial t}{\partial x} + \dfrac{5}{4} u \dfrac{\partial t}{\partial u} = - t\\
x \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{5}{4} u \dfrac{\partial v}{\partial u} = - v
\end{cases}
\end{equation}
Marthy_92 ha scritto:In tal modo ottengo, dalla seconda equazione del primo sistema
$ (partialv)/(partialx)=1/(x^2) \rArr v=-1/x+c $
Questa soluzione che hai ottenuto soddisfa anche la seconda equazione del secondo sistema se $c = 0 $, che corrisponde alla soluzione fornita dal testo.
Marthy_92 ha scritto:Prendo la più semplice funzione di $\omega_1$ cioè $t=u/x $.
Questa soluzione invece soddisfa la prima equazione del primo sistema che è omogenea, ma non la prima del secondo sistema che omogenea non è, quindi direi che la soluzione del sistema è una funzione di $\omega_1 = u/x$
Il metodo delle caratteristiche inventato da
Bernhard Riemann prevede di porre $t(s) = t(x(s), u(s)) $ dalla quale si ottiene
$ \frac{\text{d}t}{\text{d}s} = \frac{\text{d}x}{\text{d}s} t_x + \frac{\text{d}u}{\text{d}s} t_u $
Ne segue che $ \frac{\text{d}t}{\text{d}s} = - t $, $ \frac{\text{d}x}{\text{d}s} = x $, $ \frac{\text{d}u}{\text{d}s} = 5/4 u $ e quindi $t(s) = c_1 e^{-s} $, $x(s) = c_2 e^s $ e $u(s) = c_3 e^{5/4 s}$
Quindi in effetti supponendo per comodità unitarie tutte e tre le costanti moltiplicative si ha:
$ ((x(s))/(u(s)))^4 = ((e^s)/(e^{5/4 s}))^4 = (e^{-1/4 s})^4 = e^{- s} = t(s) = \omega_1^{-4}$