dubbi assiomi Peano

Salve, sto ripassando gli assiomi di Peano e avrei i seguenti dubbi:

la funzione successore è iniettiva, ok, ma la sua Immagine è tutto N-{0} ? Ho l'impressione che ci sia di mezzo il totale ordinamento o comunque il postulato di induzione ma non riesco a venirne a capo.

Postulato di induzione: se un sottoinsieme M di N eccetera... ma chi mi garantisce che esiste un tale sottoinsieme?

Ringrazio in anticipo per ogni delucidazione.

In certo qual modo è vero "per definizione di $s$", ossia dato che l'insieme dei numeri naturali è solo una maniera di scrivere la successione \(\{0,s0,ss0,sss0,ssss0,sssss0,\dots\}\) in modo compatto.

L'immagine della funzione successore è non vuota, ovviamente. Allora ammette minimo per WOP; ma se tale minimo è $k>1$ hai un evidente assurdo.

Dipende dall'approccio, se si sta ragionando nella logica del primo ordine non è nemmeno vero perchè esistono anche modelli non standard, con la logica del secondo ordine invece si dimostra che un insieme che rispetta gli assiomi di Peano è isomorfo a quello che abbiamo tutti in mente e che ha descritto megas_archon.