Sissa '04 e '05 [Eq diff. & Alg. lin.]

Intanto un saluto a tutti... spero che le vacanze vi siano andate
bene... ma purtroppo (o finalmente?!) è giunta l'ora di ricominciare:

1) Nello spazio vettoriale $V=M_2(RR)$ delle matrici 2x2 reali,
consideriamo la forma bilineare simmetrica $b(A,B)=tr(A,B)$.
Calcolare la segnatura della forma quadratica associata a $b$

2) per ogni $a>0$ sia $y_a$ la soluzione del problema di Cauchy
$y'=y^2-y^6$ con $y(0)=a$. Mostrare che $y_a$ è sempre definita in
$[0,\infty)$ e che $lim_{x->\infty}y_a=1$

Per il 2) è abbastanza facile vedere che la soluzione massimale è definita almeno su tutto $[0,+\infty)$; infatti $y=0$ e $y=1$ sono due soluzioni dell'equazione data con dato $y(0)=0$ e $y(0)=1$. Ora se $a \in (0,1)$ la soluzione è monotona non decrescente, per cui deve prolungarsi fino a $+\infty$ non potendo intersecare $y=1$. Se $a>1$ la soluzione è monotona non crescente e non può intersecare ancora $y=1$ per cui è prolungabile fino a $+\infty$ anch'essa.

Terminando il punto 2) basta scrivere la soluzione come
$y(x)=a+\int_0^x y'(s)ds=a+\int_0^x [y^2(s)(1-y^4(s))]ds$. Ora per monotonia $y \to c \in \RR$ quando $x \to +\infty$; dunque l'integranda tende a $c^2(1-c^4)$. Ma dovendo essere quell'integrale convergente (il primo membro tende a $c$) ed esistendo il limite dell'integranda, deve essere $c^2(1-c^4)=0$, per cui $c=1$, non potendo essere $c=0$.

P.S. Esercizio SISSA, vero? Riconosco lo stile...

già... per la SISSA, anche se ho deciso di non farte neanche il test di ammissione...
ho parlato coi miei prof e mi hanno consigliato tutti di restare a Roma, per quello
che voglio fare io...
e poi a dirla tutta ho studiato talmente poco st'estate che non ho proprio voglia
di rischiare una figuraccia!

E' un peccato, un giovane come te alla SISSA avrebbe già la carriera in pugno. Rimane vero il fatto non trascurabile che il PhD in SISSA contempla solo ed esclusivamente alcune aree dell'Analisi funzionale, per cui avresti comunque dovuto cambiare settore.

Tanti auguri per la laurea specialistica.

Auguri anche da parte mia Valerio, sono sicuro che sarà un altro 110 e lode come la triennale!!

@ uber e non dici niente ? con un 110 e lode in Matematica !
CONGRATULAZIONI

mi sono laureato a Luglio...

fra l'altro Luca, ho da farti una domanda... non te la faccio in privato perchè magari può rispondere
qualcun altro. Secondo te (voi) i seguenti corsi

http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/pres ... a=italiano

http://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/pres ... a=italiano

necessitano di qualche conoscenza preliminare in analisi funzionale?

Il corso sulle algebre di operatori richiede la teoria degli operatori nel caso lineare almeno, che non so se hai già visto da qualche parte.

Il corso di Analisi non lineare è più tosto e richiede almeno l'Analisi funzionale lineare di base, quindi Spazi di Banach, Hilbert, funzionali lineari e continui e operatori limitati e non.

@ uber e non dici niente ? con un 110 e lode in Matematica !

Vero... uber potevi renderci partecipi prima della cosa
In ogni caso complimenti e i migliori auguri per un'ottima carriera in campo matematico!!
Ad maiora