Bottiglia di Klein

superficie_di_klein.jpg

# Bottiglia di Klein a forma di 8.
# Script addattato da:
# http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda/Gnuplot/pm3d.html
#
x(u,v)= cos(u)*(cos(u/2)*cos(v)+sin(u/2)*sin(2*v)+3.0)
y(u,v)= -sin(u)*(cos(u/2)*cos(v)+sin(u/2)*sin(2*v)+3.0)
z(u,v)= -sin(u/2)*cos(v)+cos(u/2)*sin(2*v) 
set pm3d explicit
set palette rgb 3,7,9
unset colorbox
set parametric
set hidden3d
set ticslevel 0
unset key
set isosamples 40,40
set view 65,70,1,1
set urange[-0.5*pi:1.5*pi]
set vrange[-pi:pi]
set zrange[-2:2]
set terminal jpeg medium size 480,480
set output "klein.jpeg"
set multiplot
splot x(u,v),y(u,v),z(u,v) w pm3d
splot x(u,v),y(u,v),z(u,v) lt 6
unset multiplot
set output

 

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Ci sono 3 commenti su questo articolo:

  1. Mi preme precisare che le fun-
    zioni polari possono essere
    espresse anche con anomalie
    m.pgreco.THETA/n ;
    m.THETA/n.pgreco ;
    m.pgreco/n.THETA .

  2. Premesso quanto riportato nel I commento,le anomalie devono essere espresse in “theta” e non in “u” e “v”,cui si possono assegnare “theta” o frazioni di “theta”,
    corrispondenti a diverse bottiglie di Klein.
    Una bella bottiglia di Klein si ha se alle relative funzioni polari corrispondono immagini o grafici simmetrici rispetto ai piani di riferimento,perpendicolari tra loro xz,yz,xy ,precisando
    che se ad una delle tre funzioni polari corrisponde un grafico simmetrico rispetto ad uno dei tre piani di riferimento, anche gli altri due grafici sono simmetrici rispetto agli altri due piani.Inoltre
    x(u,v),y(u,v),z(u,v),
    riportate nelle tre funzioni polari della bottiglia di Klein in figura ,sarebbe bene
    sostituirle con
    rho(xz),rho(yz),rho(xy).
    Pertanto le infinite funzioni polari delle bottiglie di
    Klein ,possono essere espresse
    come segue:

    rho(xz)=
    (r+cos(ntheta/m)sen(ptheta/q)-
    sen(ntheta/m)sen(2ptheta/q))
    per cos(ntheta/m);

    rho(y,z)=
    (r+cos(ntheta/m)sen(ptheta/q)-
    sen(ntheta/m)sen(2ptheta/q))
    per sen(ntheta/m);

    rho(xy)=
    sen(mtheta/2n)sen(ptheta/q)+
    +cos(mtheta/2n)sen(2ptheta/q),

    per n,m ; p,q maggiori di O e minori di 10 unità.

  3. Di un punto P della bottiglia
    di Klein ,inserita in un sistema trirettangolo di riferimento dello spazio x,y,z,di origine 0 ; u=z0P
    è l’anomalia rispetto all’asse
    z;v=xOP’è l’anomalia rispetto all’asse x ; rho=OP . Si può indicare u con “fi” e v con
    “theta”.Ciò premesso,è evidente che le tre funzioni della bottiglia di Klein ,che può avere forme diverse,delle quali alcune a forma di 8 ,so-
    no “funzioni polari”.Inoltre nella rappresentazione di figure spaziali,come quella della bottiglia di Klein,gli assi di riferimento x,y,z, devono essere suddivisi in “unità uguali”, altrimenti si ha una figura che non corrisponde a quella reale .