Cardioide

cardioide.png

set terminal png medium size 480,480
set output "cardioide.png"
set parametric
set size ratio 1
set zeroaxis ls 1
plot cos(t)+0.5*cos(2*t),sin(t)+0.5*sin(2*t) notitle with line lc "black" lw 2
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  1. Coordinate del baricentro della CARDIOIDE ,per a=2,e del solido, generato dalla relativa rotazione intorno all’asse x .
    E’evidente che y(G)=0.Per la
    determinaziome di x(G) si applica la formula
    pgreco integrale da x(G)a 4 di(2x-x^2+2+2radice(2x+1)^3).dx=volume del solido di rotazione/2pgreco.
    La primitiva dell’integrale è
    uguale a
    (x^2-x^3/3+2x+(2/3)radice
    (2x-1)^3+c)da x(G) a 4.
    Essendo 16-4^3/3+8+(2/3)per
    radice di 9^3=20,66..,
    sostituendo,,operando e semplificanto, si ha l’ equazione x^3/3-x^2-2x-(2/3)
    radice(2x+1)^3+10=0 ,
    che si riduce a un’equazione di 5°grado,che ammette almeno una soluzione reale,
    ma di difficile determina- zione.Con l’ausilio di un
    calcolatore
    x(G)=1,5802757.
    Premesso che V(sr)=volume del
    solido di rotazione della cardioide =67,0206433u^3,e che metà positiva della superficie della cardioide =7,8539816u^2,
    y(G)=V(sr)/2pgrecox7,853981=
    1,1317684.
    Pertanto G(baricentro)=
    x(G)=1,5802757;y(G)=1,131768.
    Essendo Lm=lunghezza della metà del perimetro della cardiode,la superficie del solido,generato dalla rotazione della cardioide intorno all’asse x,è uguale 3pgreco.y(G).Lm=85,338884u^2.

  2. ERRATA CORRIGE
    La coordinate del centro del cerchio osculatore della Cardioide,rispetto al
    relativo punto x=3,5 ,y=1,5514096,sono
    x(c)=1,385617(non 2,7106185;
    y(c)=0,0231767(non 0,980857).
    Ciò premesso ,il raggio del cerchio osculatore è uguale a
    R(c)=(1+(y’)^2)^(3/2):y”=
    (1+(1,383551)^2)^(3/2):1,90693
    = 2,6088487u.
    BUON ANNO A TUTTI I
    COLLABORATORI.

  3. Premesso che le derivate prime delle parti della
    “CARDIOIDE”
    appartenenti al I-II e al II
    quadrante sono
    spettivamente
    y’=((1-x)radice(2x+1)+1):
    ((radice(2x+1)per radice
    ((2x-x^2+2+2radice(2x+1)) ;

    y’=((1-x)radice(2x+1)-1):
    ((2x-x^2+2-2radice(2x+1)),
    le relative lunghezze,de-
    terminate con un calcolatore,
    sono date dagli integrali
    L(I-II)=
    integrale da -0,5 a 4 della
    radice (1+(derivata I)^2)dx=
    6,9332745u ;
    L(II)=
    integrale da -0,5 a 0 della
    radice (1+(derivata I)2)dx=
    1,0666255u ;
    6,9333745+1,0666255)
    per 2=16u=8a=8r,
    cioè 8 volte il raggio del cerchio,di cui la cardioide è
    la podaria rispetto ad un punto
    della sua circonferenza.
    La lunghezza che riporta Corrado Brogi L=16r è errata.
    La derivata II della
    CARDIOIDE ,per a=2,
    non di facile determinazione ,
    in quanto richiede un complesso di operazioni,relativamente alla
    parte appartenente al I e II qua-
    drante ,è uguale a
    -3((2radice(2x+1)per(x+1)-
    +(x^2+4x+2))diviso
    ((radice(2x+1)^3 per radice
    (2x-x^2+2+2radice(2x+1))^3.
    Per x=3,5 , y”=-1,906923.
    Determinate le derivate prima
    e seconda nel punto della cardioide x=3,5 , y=1,5514096,
    è facile determinare le coordinate del centro di curvatura ed il raggio del cerchio osculatore nel punto.
    Le coordinate del centro di curvatura in
    x=3,5 ; y=1,551404 ,
    sono
    x(c)=2,7106185;
    y(c)=0,980857 .

  4. Le “primitive” degli integrali
    per la determinazione del solido ,generato dalla rotazione della “cardiode” intorno all’asse x ,sono
    (pgreco((x^2-x^3/3+2x)+,-(1/12)radice(8x+4)+c)),per cui
    (pgreco((x^2-x^3/3+2x)+(1/12)
    radice(8x+4))da -1/2 a 4 =
    67,15154297u^3 ;
    -pgreco((x^2-x^3/3+2x)-(1/12)
    radice(8x+4))da -1/2 a 0 =
    =-0,13089969 ;
    67,15154297-+0,13089969=67,02064328u^3.
    Volume della sfera di raggio r=2 è uguale a 33,51032164u^3.

  5. La “cardioide” è “podaria” di un cerchio.In figura è riportata la podaria del cerchio di raggio=1 e di coordinate del centro (x=0,5,
    y=0),rispetto al punto della circonferenza P(x=-0,5 ,y=0).
    Dimostriamo che il volume del solido ,generato dalla rotazione della cardiode di equazione
    y=+.-(1/2)radice
    ((2ax-2x^2+a^2)+,-radice(4ax+a^2))intorno all’asse x,
    è uguale al doppio del volume
    del cerchio ,di cui è podaria.
    Premesso che di una funzione
    y=radice.f(x)il volume del solido di rotazione,relativo ad un suo intervallo di definizione, è dato dall’integrale di pgreco per il quadrato della funzione in dx,della cardioide di equazione y=radice((2x-x^2+2)+,-radice(8x+4)),il volume del solido di rotazione è
    uguale a pgreco per integrale
    da -0,5 a 4 di((2x-x^2+2)+
    +radice(8x+4))dx=67,15154297;
    meno pgreco integrale da -0,5 a 0 di ((2x-x^2+2)-radice(8x+4))dx=0,13089969.
    67,15154297-0,13089969=
    =67,02074328=al doppio della
    sfera di raggio r=2.

  6. Della “cardioide” di equazione
    cartesiana
    y=+,-radice((2ax-2x^2+a^2)+,-
    radice(4ax+a^2)),
    la y’=((radice(4ax+a^2)per
    ((a-2x)+,-a))diviso
    (2radice(4ax+a^2)per radice
    ((2ax-2x^2+a^2)+,-radice(4ax+a^2)), e si dimostra,
    operando e semplificando,
    tenendo presente che
    (d/dx)radice di f(x)=
    (d/dx)f(x)/2radice di f(x).
    Per a=2 ,
    y’=radice(2x+1)((1-x)+,-1)/
    2(radice(2x+1)per radice
    (2((2x-x^2+2)+,-radice(2x+1)).
    Della cardioide per a=2,
    di equazione
    y=+radice((2x-x^2+2)+2radice di(2x+1)),del I,II quadrante,
    per P(x=3,5 ; y=1,5514096) ;
    l’equazione tangente in P è
    y=-1,383551x+6,39383246.

  7. Equazione cartesiana della “cardioide” per 2r=a=2.
    Equazioni parametriche:
    x=acosp-cos2p/a ,
    y=asenp-sen2p/a ;operando,
    x=acosp-((cosp)^2-(senp)^2)/a,
    y=a.senp-asenp.cosp ;
    x=a.cosp-(2(cosp^2-1)/a ;
    y=a.senp(1-cosp),
    x=-a.cosp(1-cosp),da cui
    x^2+y^2=a^2(1-cosp)^2 ;
    x^2/a^2+y^2/a^2=(1-cosp)^2 ;
    (1-cosp)=
    =radice(x^2/a^2+y^2/a^2);
    cosp=
    =1-radice(x^2/a^2+y^2/a^2);
    x/a=
    -(1-radice(x^2/a^2+y^2/a^2)+
    +x^2/a^2+y^2/a^2;
    operando e isolando la y,
    y^4-(2ax-2x^2+a^2)y^2+
    +x^4-2ax^3.
    Risolvendo,
    y=+,-(1/2)radice((2ax-x^2+a^2)
    +,-a.radice(a^2+4ax)).
    equazione cartesiana della
    cardioide.
    Per a=2 ,abbiamo
    y=+,-radice((2x-x^2+2)+,-
    radice(8x+4)).
    Parti della “cardiode”,relativi
    agli assi cartesiani :
    ( +, + ),I e II quadrante ;
    ( -, + ),III ,IV quadrante ;
    ( -, – ),III quadrante ;
    ( +, – ),II quadrante.

  8. La “cardiode” è una epicicloide di equazioni parametriche
    x=2r.cosp-d.cos2p
    y=2r.senp-dsen2p .
    Per r=d ,si hanno le equazioni parametriche della cardiode, simmetrica rispetto all’asse cartesiano x, intersecato però nei punti (0 , 4(r)=4(d)).
    L’equazione polare della
    cardiode è
    rho=2(d.costheta-r).
    Per d minore di r , si ha la cardiode in figura di equazione
    rho=2(0,2.cotheta-0,5)
    Per d , maggiore o minore, di r ,si hanno diversi tipi di “cardiode”.
    Per 2(0,75cos.theta-1) si ha una bella cardiode simile a quella in figura.