Catenaria

Lovecchio Ing. Filomeno

Errata corrige:
y(A,B)=(1/2)(e^2+e^-2)=3,7621957,ordinata degli estremi A e B ,cui è appesa la catenaria (3,6268u,errato).
La SUPERFICIE dell'area interna alla catenaria in figura è uguale a integrale da - 2 a +2
di(1/2)(e^x+e^-x)-3,7621957)dx
la cui primitiva è
=(e^x)/2+(e^-2)/2-3,762196x+c)da -2 a +2=11,286587-3,762196=
7,7950619u^2.
La LUNGHEZZA della catenaria in figuara è uguale a
L(c)=integrale da -2 a +2 ra-
dice (1+(y')^2)dx=
integrale da -2 a +2 di radice
(1+((1/2)(e^x-e^-x))^2).dx ;
con un calcolatore =7,253721u.
Coordinate del centro del cerchio osculatore nel punto
P(x(P)=1,4;y(P)=2,1508985.
x(c)=x(P)-(y'/y")(1+(y')^2)=
1,4-1,9043015/2,1508985)per
(1-(1,9043015)^2)=-2,695959u.
y(c)=f(x(p)+1/y"(1+(y')2)=
2,1508985+(1/2,1508985)per
(1+(1,9043125)^2)=+4,3018985.
RAGGIO del cerchio osculatore
in P=(1+(y'(P)^2)^(3/2)/y"(P)
=4,62643613u.

Lovecchio Ing. Filomeno

La "catenaria" è una catena inestensibile, appesa a due estremi A e B a livello orizzontale;AB=l=(lunghezza).
E'evidente che la lunghezza L della catenaria è > l .
L'equazione cartesiana della "catenaria" di modulo "a" ,ordinata del vertice della catenaria ,è
y=acosh(x/a);
cosh=cos.iperbolico .
Essendo cosh(x/a)=
=(1/2)(e^(x/a)+e^(-x/a)).
Della catenaria in figura,di modulo a=1 ,l'equazione cartesiana è
(1/2)coshx=(1/2)(e^x+e^-x).
Per x=-,+2 ,y=(1/2)coshx;
y=(1/2)(e^(2)+e^(-2))=3,6268,
altezza della catenaria.
Derivate della catenaria in figura.Essendo
(d/dx)(1/2coshx)=(1/2)senhx;
(d/dx)(1/2senhx)=(1/2)coshx;
dell'equazione y=cosh(x),
y'=senh(x)=(1/2)(e^x-e^-x));
y"=cosh(x)=(1/2)(e^x+e^-x)).
In P(x=1,4 ; y=2,1508985);
y'=(1/2)(e^1,4+e^-1,4)=1,904.
equazione della tangente in P
y=1,904(x-1,4)+2,1508985;
y=1,9043.x-0,5151236.
Derivata seconda in P,
y"=(1/2)(e^x-e^-x);
y"=(1/2)(e^1,4-e^-1,4)=2,1509
Determinate le derivate prima e seconda in P ,è facile calcolare le relative coordinate del centro di curvatura ed il raggio del cerchio osculatore.