Catenaria

catenaria.png

set terminal png medium size 480,480
set output "catenaria.png"
set size ratio 1
set zeroaxis ls 1
set xrange [-2:2]
set yrange [0:4]
e = exp(1)
plot (e**x+e**(-x))/2 notitle with line lc "black" lw 2
set output

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Ci sono 3 commenti su questo articolo:

  1. Il VOLUME del solido,genera-
    to dalla rotazione della catenaria intorno ad AB, è uguale a integrale da -2 a 2 di pgreco per
    (1/2(e^x+e^-x)-3,762196)^2dx
    la cui primitiva,elevando al quadrato e tenendo presente che la primitiva dell’
    integrale di e^x.dx=(e^x+c),
    =pgreco((1/4)(e^(2x)+e^(-2x)-
    +3,76219569(e^x+e^-x)+
    +14,6541164x)da -2 a 2=pgreco
    per(-14,6541164-(-29,3082328)
    =pgreco(14,654116)=
    =55,548353u^3=V(sr).
    Il BARICENTRO della superficie,delimitata dalla catenaria,ha le coordinate=
    3,76219569-V(sr):2pgrecoA(s)
    =3,7621957-218794=
    =y(G)=2,5434017u ; x(G)=0 ,
    La SUPERFICIE del solido, generato dalla rotazione della catenaria intorno alla retta AB,
    =A(sr)=3pgreco.y(G)L(c)=
    =3pgreco(2,5434012)(7,225372)
    =173,87888u^2.

  2. Errata corrige:
    y(A,B)=(1/2)(e^2+e^-2)=3,7621957,ordinata degli estremi A e B ,cui è appesa la catenaria (3,6268u,errato).
    La SUPERFICIE dell’area interna alla catenaria in figura è uguale a integrale da – 2 a +2
    di(1/2)(e^x+e^-x)-3,7621957)dx
    la cui primitiva è
    =(e^x)/2+(e^-2)/2-3,762196x+c)da -2 a +2=11,286587-3,762196=
    7,7950619u^2.
    La LUNGHEZZA della catenaria in figuara è uguale a
    L(c)=integrale da -2 a +2 ra-
    dice (1+(y’)^2)dx=
    integrale da -2 a +2 di radice
    (1+((1/2)(e^x-e^-x))^2).dx ;
    con un calcolatore =7,253721u.
    Coordinate del centro del cerchio osculatore nel punto
    P(x(P)=1,4;y(P)=2,1508985.
    x(c)=x(P)-(y’/y”)(1+(y’)^2)=
    1,4-1,9043015/2,1508985)per
    (1-(1,9043015)^2)=-2,695959u.
    y(c)=f(x(p)+1/y”(1+(y’)2)=
    2,1508985+(1/2,1508985)per
    (1+(1,9043125)^2)=+4,3018985.
    RAGGIO del cerchio osculatore
    in P=(1+(y'(P)^2)^(3/2)/y”(P)
    =4,62643613u.

  3. La “catenaria” è una catena inestensibile, appesa a due estremi A e B a livello orizzontale;AB=l=(lunghezza).
    E’evidente che la lunghezza L della catenaria è > l .
    L’equazione cartesiana della “catenaria” di modulo “a” ,ordinata del vertice della catenaria ,è
    y=acosh(x/a);
    cosh=cos.iperbolico .
    Essendo cosh(x/a)=
    =(1/2)(e^(x/a)+e^(-x/a)).
    Della catenaria in figura,di modulo a=1 ,l’equazione cartesiana è
    (1/2)coshx=(1/2)(e^x+e^-x).
    Per x=-,+2 ,y=(1/2)coshx;
    y=(1/2)(e^(2)+e^(-2))=3,6268,
    altezza della catenaria.
    Derivate della catenaria in figura.Essendo
    (d/dx)(1/2coshx)=(1/2)senhx;
    (d/dx)(1/2senhx)=(1/2)coshx;
    dell’equazione y=cosh(x),
    y’=senh(x)=(1/2)(e^x-e^-x));
    y”=cosh(x)=(1/2)(e^x+e^-x)).
    In P(x=1,4 ; y=2,1508985);
    y’=(1/2)(e^1,4+e^-1,4)=1,904.
    equazione della tangente in P
    y=1,904(x-1,4)+2,1508985;
    y=1,9043.x-0,5151236.
    Derivata seconda in P,
    y”=(1/2)(e^x-e^-x);
    y”=(1/2)(e^1,4-e^-1,4)=2,1509
    Determinate le derivate prima e seconda in P ,è facile calcolare le relative coordinate del centro di curvatura ed il raggio del cerchio osculatore.