Regressione esponenziale

E’ sempre interessante vedere quanto vicino arrivata l’approssimazione ai coefficienti che abbiamo usato per costruire i dati. I coefficienti variavano tra 2 e 6 e noi abbiamo ottenuto per l’approssimazione. nei nostri dati era sempre e per l’approssimazione abbiamo ottenuto . Naturalmente abbiamo aggiunto rumore ai dati, cos che non ci aspettiamo che questi coefficienti dell’approssimazione coincidano esattamente con i coefficienti usati per ottenere i nostri dati. 

————————————————————————————————————————-

Ecco la rappresentazione dei dati e la curva che rappresenta la funzione approssimante .

                 Per vedere l’animazione possiamo cliccare sul grafico seguente

La funzione approssimante con e . Il coefficiente di correlazione per questa approssimazione .

Risultati: l’approssimazione e il grafico

Questo completa la nostra occhiata dentro la scatola nera. Ovviamente ci sarebbe ancora molto da dire, ma siamo pronti per vedere alcuni risultati.

La vostra calcolatrice vi restituir questi valori di prova come la risposta, ma se c’ un po’ di rumore nei vostri dati questi valori potrebbero non essere esattamente i valori che minimizzano la somma degli errori quadratici nell’approssimazione. Cos noi imporremo alla funzione genfit di partire con i nostri valori di prova e di fornirci una risposta pi sicura.

Se osservate gli argomenti in ingresso a genfit vedrete che essi includono i vettori dei dati, i nostri valori di prova per i parametri, e la funzione , che chiaramente ha qualcosa a che fare con la forma della funzione approssimante. Infatti la prima entrata in proprio la nostra funzione con e al posto di e . Se conoscete l’analisi matematica potete notare che gli altri due argomenti in entrata sono le derivate del primo argomento rispetto ai due parametri e . La funzione genfit usa una procedura iterativa che minimizza la somma dei quadrati degli errori nell’approssimazione e ha bisogno di queste derivate per il calcolo. E’ un problema delicato e abbiamo bisogno di iniziare l’iterazione con valori vicini alla risposta finale, ecco perch abbiamo curato la scelta dei valori di prova.

E ora tocca alle equazioni per il calcolo dell’approssimazione. Prima occupiamoci dei valori di prova per i due coefficienti prendendo i logaritmi dei loro valori . Se la vostra calcolatrice pu dare l’approssimazione esponenziale, probabilmente usa questo trucco. Funziona, perch se allora cosicch il logaritmo di una funzione lineare di . Useremo coefficiente angolare e ordinata all’origine della retta che meglio approssima il grafico logaritmico per costruire valori di prova per gli originali parametri esponenziali. L’operatore freccia sopra ci dice che prenderemo i logaritmi di tutti valori dei dati in una volta.

Per essere sicuri che il nostro grafico mostri tutti i dati useremo il max e il min di e per fissare la scala del grafico. Prima troviamo gli intervalli di e e quindi estendiamo un po’ ciascun intervallo. Per rappresentare la funzione approssimante useremo una variabile diversa, .

Prima costruiremo alcuni dati che hanno pressappoco un andamento esponenziale. Sceglieremo alcuni valori per e li sposteremo un po’ a destra e a sinistra. Quindi li passeremo attraverso una funzione esponenziale e li moltiplicheremo per un fattore casuale compreso tra 2 e 6. Ci aggiunge rumore ai nostri dati e la procedura di approssimazione avr un po’ di lavoro da fare.

Dentro la scatola nera

Potete considerare il vostro foglio di lavoro come una scatola nera , come gli ingegneri chiamano un dispositivo di cui si preoccupano unicamente degli input e degli output e non del suo funzionamento. Tutto ci che dovete fare digitare i vostri dati in due vettori chiamati e e andare alla fine del foglio di lavoro per vedere i coefficienti e e costruire un grafico con i dati e la curva approssimante.

Se avete coppie di dati , la regressione esponenziale avvicina i valori con un’espressione della forma . Mathcad pu rapidamente trovare i migliori valori per le costanti e . Esso usa una funzione sofisticata genfit , che rende la somma dei quadrati degli errori nella vostra approssimazione pi piccola possibile.

   Regressione esponenziale animata con Mathcad

Carlo Elce

Commenti

commenti