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Manuale di matematica per il 3° anno della scuola secondaria di secondo grado.
Carmelo Di Stefano DAL PROBLEMA AL MODELLO MATEMATICO Volume 1 per il triennio.
© Skuola.Net 2013-2019
Quinta edizione (luglio 2019)
ISBN 9788896354476
Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-ND Attribuzione: devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera. Non commerciale: non puoi usare quest'opera per fini commerciali. Non opere derivate: non puoi alterare o trasformare quest'opera, né usarla per crearne un'altra.
525 pagine, centinaia di esempi svolti e centinaia di esercizi da svolgere con risultato.
Presentazione
Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.
All'inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati "Quelli che vogliono sapere di pis ..."
Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all'interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L'angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L'antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo con la Matematica, che si riferiscono, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all'inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
Alla fine dell'unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
Vi sono poi quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari, proprio per esercitarti per le prove di ammissione nei corsi di laurea ad accesso programmato.
Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell'unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito Test di Mathinterattiva. Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è Matdidattica.
In quest'ultima edizione ho inserito diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora.
Buon lavoro
Carmelo Di Stefano
Indice
1. Le basi del ragionamento
1.1 Concetti logici applicati alle matematiche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 7
Che cosa sono le matematiche? 7
Nozione di problema 9
Concetto di verità 9
Nozione di definizione 10
L'Antologia 12
Verifiche 14
Assiomi e teoremi 16
L'Antologia 17
Verifiche 18
I principi della logica classica 19
Verifiche 22
L'angolo di Derive 23
La sfida 23
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 23
Questions in English 24
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 25
Intervallo matematico 26
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 27
1.2 Verso il concetto di dimostrazione
Richiamiamo le conoscenze Pag. 29
Verifiche 31
I quantificatori 33
Verifiche 37
L'Antologia 40
Il calcolo proposizionale 42
Verifiche 46
Intervallo matematico 47
Il concetto di dimostrazione 49
Verifiche 56
Giochiamo alla matematica 60
L'Antologia 61
L'angolo di Derive 62
L'angolo di Excel 62
Intervallo matematico 63
La sfida 64
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 64
Questions in English 67
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 68
Quelli che... vogliono sapere di più - I sillogismi aristotelici 73
Verifiche 75
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 76
1.3 Insiemi dotati di struttura
Richiamiamo le conoscenze Pag. 77
Verifiche 79
Strutture algebriche 82
Verifiche 86
I Gruppi 88
L'Antologia 90
Verifiche 91
Anelli, Corpi e Campi 94
Verifiche 97
Isomorfismi 98
Verifiche 99
L'angolo di Derive 99
La sfida 100
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 100
Questions in English 101
Quelli che... vogliono sapere di più - Ordine dei sottogruppi 102
Verifiche 104
2. Geometria delle coordinate
2.1 Risoluzione dei sistemi lineari
Richiamiamo le conoscenze Pag. 106
Verifiche 109
Risoluzione di un sistema lineare di n equazioni in n incognite 112
L'Antologia 123
Verifiche 124
Inversione di matrici 132
Verifiche 136
Giochiamo alla matematica 141
Risoluzione di sistemi lineari di n equazioni in m incognite 144
Verifiche 148
L'angolo di Derive 157
L'angolo di Microsoft Mathematics 157
La sfida 157
Temi assegnati agli esami di stato 158
Quelli che... vogliono sapere di più - Metodo di diagonalizzazione di Gauss 159
Verifiche 165
2.2 Il riferimento cartesiano ortogonale
Richiamiamo le conoscenze Pag. 168
Concetto di sistema di riferimento sulla retta 170
Verifiche 173
Concetto di sistema di riferimento sul piano 178
Verifiche 183
Giochiamo alla matematica 186
Geometria dei punti e delle figure poligonali 187
Verifiche 189
Suddivisione di un segmento in un dato rapporto 197
Verifiche 200
Aree di figure poligonali 204
Verifiche 207
L'angolo di Geogebra e Cabri 208
L'angolo di Derive 208
L'angolo di Microsoft Mathematics Pag. 208
La sfida 208
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 210
Questions in English 211
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212
3. Rette e trasformazioni geometriche
3.1 Curve di primo grado
Richiamiamo le conoscenze Pag. 214
Concetto di luogo geometrico-analitico 216
L'Antologia 220
Verifiche 222
Equazione della retta 225
Verifiche 232
Posizioni reciproche di due rette 240
Verifiche 245
Fasci di rette 257
Verifiche 259
L'angolo di Derive 263
L'angolo di Geogebra e Cabri 263
L'angolo della MateFisica 264
La sfida 265
Temi assegnati agli esami di stato 265
Quelli che... vogliono sapere di più – Cenni sulla programmazione lineare 267
Verifiche 271
L'angolo di Derive 278
L'angolo di Geogebra 278
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 278
Questions in English 280
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 281
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 284
3.2 Trasformazioni geometriche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 286
Trasformazioni geometriche 287
Verifiche 290
Composizione di trasformazioni geometriche 292
Verifiche 294
Inversione di trasformazioni geometriche 295
L'Antologia 297
Verifiche 298
Leggi delle trasformazioni isometriche 299
Leggi della traslazione 300
Verifiche 302
Leggi delle simmetrie 305
Verifiche 309
Leggi delle rotazioni 318
Verifiche 320
Intervallo Matematico 324
Leggi delle omotetie 325
Verifiche 328
Leggi delle trasformazioni di similitudine 332
Verifiche Pag. 334
Leggi delle trasformazioni di affinità 338
Verifiche 341
L'angolo di Derive 345
L'angolo di Geogebra e Cabri 345
L'angolo della MateFisica 346
La sfida 347
Temi assegnati agli esami di stato 350
Giochiamo alla matematica 351
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 351
Questions in English 352
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352
4. Geometria delle coniche
4.1 Le sezioni coniche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 354
Verifiche 354
I numeri complessi 355
L'Antologia 358
Operazioni aritmetiche con i numeri complessi 359
Verifiche 362
L'angolo di Derive 366
L'angolo di Microsoft Mathematics 366
Le coniche 367
L'Antologia 373
Verifiche 374
Posizioni reciproche di retta e conica e di due coniche 376
Verifiche 381
L'angolo di Geogebra 386
Fasci di coniche 387
Verifiche 389
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391
4.2 Le circonferenze
Equazione della circonferenza Pag. 393
Verifiche 397
L'angolo di Derive 409
Fasci di circonferenze 410
Verifiche 413
L'angolo della MateFisica 415
La sfida 415
Temi assegnati agli esami di stato 417
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 419
Questions in English 420
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 421
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 422
4.3 Le ellissi
Equazione dell'ellisse Pag. 424
Verifiche 432
Fasci di ellissi 444
Verifiche 446
Intervallo matematico 447
L'angolo di Derive 447
L'angolo di Geogebra 448
L'angolo della MateFisica 448
La sfida 449
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449
4.4 Le iperboli
Equazione dell'iperbole Pag. 451
Verifiche 458
Fasci di iperboli 471
L'antologia 473
Verifiche 474
Intervallo matematico 477
L'angolo di Derive 477
L'angolo di Geogebra 477
L'angolo della MateFisica 478
La sfida 478
Temi assegnati agli esami di stato 479
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 480
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 481
4.5 Le parabole
Equazione della parabola Pag. 483
Verifiche 490
Fasci di parabole 509
Verifiche 510
Intervallo matematico 511
L'angolo di Derive 511
L'angolo di Geogebra 511
L'angolo della MateFisica 512
La sfida 513
Temi assegnati agli esami di stato 514
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 521
Questions in English 521
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 522
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 523
Volume primo
Per il triennio
Carmelo Di Stefano
Dal Problema al Modello matematico
Volume Primo
Per il triennio
http://mathinterattiva.altervista.org/E-Book.htm
Edizione riveduta e corretta e arricchita di collegamenti multimediali.
Luglio 2019
Questo libro è rilasciato con licenza
Creative Commons BY-NC-ND
Attribuzione – Non Commerciale – Non opere derivate
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/it/deed.it
— Devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'opera
Attribuzione
in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera.
— Non puoi usare quest'opera per fini commerciali.
Non commerciale — Non puoi alterare o trasformare quest'opera, né usarla per crearne un'altra.
Non opere derivate
Se vuoi contribuire a migliorare questo testo, invia segnalazioni di errori, mancanze, integrazioni all’autore
carmelodst@alice.it o all’editore info@matematicamente.it. I proprietari di immagini, o di altri contenuti,
che sono stati utilizzati impropriamente e inavvertitamente in questo libro, se ritengono di non essere stati
citati correttamente sono pregati di mettersi in contatto con l’autore o con l’editore per gli interventi che si
riterranno necessari; si fa presente che questo libro non ha scopo di lucro.
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1
PRESENTAZIONE
Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.
All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano
• utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di In
Richiamiamo le Conoscenze.
alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che … voglio-
no sapere di più
Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di
• un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via)
Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa signi-
• fica?
Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati
• che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagi-
I Protagonisti,
ne; invece ne ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono
L’angolo storico
incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia
sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
Vi sono anche dei box chiamati o che si riferisco-
Intervallo matematico Giochiamo alla matematica,
• no, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
Tenuto conto delle ultime riforme scolastiche, in particolare della prova multidisciplinare dell’Esame di
• Stato, che riguarda la matematica e la fisica, ogni tanto troverai anche in cui
L’angolo della MateFisica,
sono trattati argomenti di fisica attinenti quelli di matematica sviluppati nell’unità. In particolare vengo-
no presentati e, a volte svolti, quesiti assegnati agli Esami o nelle Simulazioni che il Ministero prepara
durante l’anno.
Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di dif-
• Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione
ficoltà, opportunamente indicati. Il
di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di
un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando
la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace
veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi,
che vanno sotto il nome di Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o
La sfida.
2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono
• presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli
argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del
• Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono
• anche enunciati in lingua inglese.
Alla fine di ogni unità vi sono le attività di recupero, formate essenzialmente da una serie di esercizi
• svolti, da completare e da svolgere interamente.
Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti ar-
• gomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito .
http://mathinterattiva.altervista.org
Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.
• Vi sono anche diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei
• software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa
una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora. Buon lavoro da Carmelo Di Stefano
ii
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1
Indice
1. Le basi del ragionamento
1.1 Concetti logici applicati alle matematiche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 7
Che cosa sono le matematiche? 7
Nozione di problema 9
Concetto di verità 9
Nozione di definizione 10
L’Antologia 12
Verifiche 14
Assiomi e teoremi 16
L’Antologia 17
Verifiche 18
I principi della logica classica 19
Verifiche 22
L’angolo di Derive 23
La sfida 23
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 23
Questions in English 24
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 25
Intervallo matematico 26
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 27
1.2 Verso il concetto di dimostrazione
Richiamiamo le conoscenze Pag. 29
Verifiche 31
I quantificatori 33
Verifiche 37
L’Antologia 40
Il calcolo proposizionale 42
Verifiche 46
Intervallo matematico 47
Il concetto di dimostrazione 49
Verifiche 56
Giochiamo alla matematica 60
L’Antologia 61
L’angolo di Derive 62
L’angolo di Excel 62
Intervallo matematico 63
La sfida 64
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 64
Questions in English 67
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 68
Quelli che … vogliono sapere di più – I sillogismi aristotelici 73
Verifiche 75
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 76
1
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1
1.3 Insiemi dotati di struttura
Richiamiamo le conoscenze Pag. 77
Verifiche 79
Strutture algebriche 82
Verifiche 86
I Gruppi 88
L’Antologia 90
Verifiche 91
Anelli, Corpi e Campi 94
Verifiche 97
Isomorfismi 98
Verifiche 99
L’angolo di Derive 99
La sfida 100
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 100
Questions in English 101
Quelli che … vogliono sapere di più - Ordine dei sottogruppi 102
Verifiche 104
2. Geometria delle coordinate
2.1 Risoluzione dei sistemi lineari
Richiamiamo le conoscenze Pag. 106
Verifiche 109
Risoluzione di un sistema lineare di equazioni in incognite 112
n n
L’Antologia 123
Verifiche 124
Inversione di matrici 132
Verifiche 136
Giochiamo alla matematica 141
Risoluzione di sistemi lineari di equazioni in incognite 144
n m
Verifiche 148
L’angolo di Derive 157
L’angolo di Microsoft Mathematics 157
La sfida 157
Temi assegnati agli esami di stato 158
Quelli che … vogliono sapere di più - Metodo di diagonalizzazione di Gauss 159
Verifiche 165
2.2 Il riferimento cartesiano ortogonale
Richiamiamo le conoscenze Pag. 168
Concetto di sistema di riferimento sulla retta 170
Verifiche 173
Concetto di sistema di riferimento sul piano 178
Verifiche 183
Giochiamo alla matematica 186
Geometria dei punti e delle figure poligonali 187
Verifiche 189
Suddivisione di un segmento in un dato rapporto 197
Verifiche 200
Aree di figure poligonali 204
Verifiche 207
L’angolo di Geogebra e Cabri 208
L’angolo di Derive 208
2
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1
L’angolo di Microsoft Mathematics Pag. 208
La sfida 208
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 210
Questions in English 211
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212
3. Rette e trasformazioni geometriche
3.1. Curve di primo grado
Richiamiamo le conoscenze Pag. 214
Concetto di luogo geometrico–analitico 216
L’Antologia 220
Verifiche 222
Equazione della retta 225
Verifiche 232
Posizioni reciproche di due rette 240
Verifiche 245
Fasci di rette 257
Verifiche 259
L’angolo di Derive 263
L’angolo di Geogebra e Cabri 263
L’angolo della MateFisica 264
La sfida 265
Temi assegnati agli esami di stato 265
Quelli che … vogliono sapere di più – Cenni sulla programmazione lineare 267
Verifiche 271
L’angolo di Derive 278
L’angolo di Geogebra 278
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 278
Questions in English 280
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 281
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 284
3.2 Trasformazioni geometriche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 286
Trasformazioni geometriche 287
Verifiche 290
Composizione di trasformazioni geometriche 292
Verifiche 294
Inversione di trasformazioni geometriche 295
L’Antologia 297
Verifiche 298
Leggi delle trasformazioni isometriche 299
Leggi della traslazione 300
Verifiche 302
Leggi delle simmetrie 305
Verifiche 309
Leggi delle rotazioni 318
Verifiche 320
Intervallo Matematico 324
Leggi delle omotetie 325
Verifiche 328
Leggi delle trasformazioni di similitudine 332
3
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1
Verifiche Pag. 334
Leggi delle trasformazioni di affinità 338
Verifiche 341
L’angolo di Derive 345
L’angolo di Geogebra e Cabri 345
L’angolo della MateFisica 346
La sfida 347
Temi assegnati agli esami di stato 350
Giochiamo alla matematica 351
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 351
Questions in English 352
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352
4. Geometria delle coniche
4.1. Le sezioni coniche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 354
Verifiche 354
I numeri complessi 355
L’Antologia 358
Operazioni aritmetiche con i numeri complessi 359
Verifiche 362
L’angolo di Derive 366
L’angolo di Microsoft Mathematics 366
Le coniche 367
L’Antologia 373
Verifiche 374
Posizioni reciproche di retta e conica e di due coniche 376
Verifiche 381
L’angolo di Geogebra 386
Fasci di coniche 387
Verifiche 389
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391
4.2 Le circonferenze
Equazione della circonferenza Pag. 393
Verifiche 397
L’angolo di Derive 409
Fasci di circonferenze 410
Verifiche 413
L’angolo della MateFisica 415
La sfida 415
Temi assegnati agli esami di stato 417
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 419
Questions in English 420
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 421
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 422
4
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 3 – Capitolo 1 - Unità 1
4.3 Le ellissi
Equazione dell’ellisse Pag. 424
Verifiche 432
Fasci di ellissi 444
Verifiche 446
Intervallo matematico 447
L’angolo di Derive 447
L’angolo di Geogebra 448
L’angolo della MateFisica 448
La sfida 449
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449
