Gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

Laurea specialistica in matematica

 

Lo studio del gruppo delle trecce e delle sue applicazioni inizia negli anni venti del Novecento, a opera di Emil Artin. Il gruppo delle trecce Bn, presentato in termini di n generatori e opportune relazioni, è un gruppo non abeliano di ordine infinito e pertanto lo studio delle sue rappresentazioni richiede l’impiego di tecniche più sofisticate di quelle utilizzate per i gruppi finiti. Il presente lavoro riguarda proprio l’analisi comparativa di diverse rappresentazioni di Bn e il loro utilizzo per costruire invarianti polinomiali dei nodi. Il gruppo delle trecce compare infatti in modo naturale nella teoria matematica dei nodi, in quanto ogni nodo immerso nello spazio t ridimensionale può essere ottenuto come chiusura di una treccia aperta – rappresentata geometricamente come una collezione di n stringhe intrecciate, i cui estremi superiori e inferiori sono fissati su due dischi paralleli (teorema di Alexander).
Il problema di maggior interesse, rimasto irrisolto per molti decenni, riguarda la linearità dei gruppi delle trecce, vale a dire la ricerca di una rappresentazione fedele di Bn in un gruppo di matrici su un anello commutativo. Nel 1935 Werner Burau introdusse una rappresentazione (n−1)-dimensionale lineare non banale, che per lungo tempo fu considerata un buon candidato per una rappresentazione fedele (si mostra infatti che questa rappresentazione è fedele per n <= 3). Solo alla fine degli anni Novanta è stato realizzato che la rappresentazione di Burau non è fedele per n >= 5 (lasciando aperto l’unico caso n = 4).
Ruth Lawrence nel 1990 ha introdotto una rappresentazione del gruppo delle trecce, dipendente da due variabili, che nel 2000 Daan Krammer ha dimostra-to essere fedele per n = 4 (in realtà la costruzione di Krammer è di tipo algebrico, mentre quella della Lawrence è di tipo topologico). Nel 2001 Stephen Bigelow è riuscito a provare, attraverso una nuova costruzione di natura topologica, che la rappresentazione di Lawrence-Krammer è fedele per ogni n e, quindi, il gruppo delle trecce risulta essere lineare. Il problema a lungo rimasto aperto ha trovato cos’ı una soluzione definitiva.
Questa tesi si ispira al contributo fondamentale di Stephen Bigelow ed è finalizzata a chiarire i legami tra le costruzioni algebrica e topologica della rappresentazione di Lawrence-Krammer e a mettere in luce aspetti relativi alla costruzione di invarianti polinomiali dei nodi.

Dopo aver introdotto la definizione di gruppo delle trecce, le sue relazioni con il mapping class group e con il gruppo libero su n generatori, nel secondo capitolo viene richiamata la rappresentazione di Burau nonché i risultati sulla sua non fedeltà.
Nel terzo capitolo si analizzano in modo critico i risultati riguardanti la rappresentazione di Lawrence-Krammer. In particolare nel paragrafo 3.6 viene presentato uno schema generale in cui si inseriscono le rappresentazioni di Burau e Lawrence-Krammer; tale schema si basa sul fatto che il gruppo delle trecce Bn agisce fedelmente come gruppo degli automorfismi del gruppo libero su uno stesso numero di generatori.
Nel capitolo 4, sulle algebre di Hecke, viene riconosciuto come la rappresentazione di Burau sia in relatà una rappresentazione del gruppo delle trecce in un’opportuna algebra di Hecke. Sull’algebra si introduce una funzione traccia che, nel caso della rappresentazione di Burau, risulta corrispondere all’invariante di Alexander per i nodi.
Nel capitolo 5, l’algebra di Birman-Murakami-Wenzl (BMW) è dapprima considerata relativamente al suo legame con l’algebra di Hecke: si costruisce infatti una decomposizione di tale algebra, che contiene una sottoalgebra isomorfa all’algebra di Hecke. Nella seconda parte del capitolo si mostra, riprendendo i lavori di Matthew Zinno, che la rappresentazione regolare dell’algebra BMW è irriducibile e coincide con la rappresentazione di Lawrence-Krammer del gruppo delle trecce, discussa nel terzo capitolo.
Nel capitolo finale si forniscono i minimi prerequisiti per comprendere il legame tra trecce e nodi (collezione di curve chiuse e semplici nel 3-spazio). Le costruzioni algebriche delle tracce sulle algebre di Hecke e BMW, esaminate nei capitoli precedenti, vengono esplicitamente legate al polinomio HOMFLY (traccia sull’algebra di Hecke) e al polinomio di Kauffman (ricavato dalla funzione traccia sull’algebra BMW). Entrambi questi polinomi dipendono da due variabili e si riferiscono rispettivamente a nodi orientati e non orientati. Viene proposta un’analisi originale delle relazioni tra questi due tipi di invarianti, mettendo in luce il ruolo della rappresentazione di Lawrence-Krammer, non sufficientemente chiarito in letteratura.

La tesi è corredata di un’appendice con richiami sulla teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico, la cui algebra di gruppo è il punto di partenza per le costruzioni delle rappresentazioni del gruppo delle trecce nelle algebre di Hecke.
In questo lavoro non vengono affrontate le numerose applicazioni della teoria delle rappresentazioni del gruppo delle trecce, che in realtà sono estremamente importanti in Fisica teorica ed in particolare nella teoria quantistica dei campi. Rappresentazioni unitarie del gruppo delle trecce compaiono infatti nelle teorie di campo conforme bidimensionale (holonomy representations e rappresentazioni basate sulla matrice R) e nella teoria di campo topologica tridimensionale del tipo Chern-Simons1. In tali teorie, il polinomio HOMFLY, valutato per opportuni valori delle variabili, risulta essere la più generale osservabile fisica, ottenuta come valore di aspettazione quantistico di operatori chiamati “Wilson loops”.
Si osservi infine che problemi algoritmici legati al gruppo delle trecce (problema della parola, problema della coniugazione) sono ingredienti fondamentali di sistemi crittografici, come ad esempio il BCKE (Braid Group Commutator Key Exchange); si stanno attualmente analizzando protocolli che utilizzano le matrici della rappresentazione di Lawrence-Krammer.

 

 

 

Scarica la tesi

http://www.matematicamente.it//tesi/Paganini-Gruppo_trecce.pdf

 

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