Statica dei Gusci Cilindrici in Regime Membranale

bonaldi.jpgI gusci costituiscono una classe di corpi continui tridimensionali nei quali due dimensioni prevalgono sulla terza, lo spessore; dal punto di vista geometrico, possono essere riguardati come regioni tridimensionali sottili, modellate su superfici. La superficie su cui un guscio viene modellato è detta superficie media; la geometria di una struttura a guscio ne risulta completamente determinata. L’idea che sottende tutta la meccanica delle strutture sottili, quindi anche qualunque teoria dei gusci, è quella che le equazioni che ne regolano il comportamento debbono risultare alquanto più semplici di quelle che occorrerebbe risolvere se li si considerasse corpi tridimensionali di forma particolare.

Introduzione

Obiettivo di questo lavoro e quello di esporre un modello matematico per lo studio dello stato di spostamento, deformazione e sforzo in una struttura a guscio che si trovi in un regime di equilibrio speciale e semplice, quello membranale.

Pur non potendo nè volendo compiere un completo percorso deduttivo, nei primi due capitoli raccoglieremo, nel modo più sintetico possibile, i concetti indispensabili per comprendere gli sviluppi successivi, discutendo in particolare la nozione di equilibrio membranale. Nel terzo e ultimo capitolo concentreremo l’attenzione sui gusci cilindrici e, dopo averne passato in rivista le principali proprietà, esporremo in dettaglio la soluzione esatta ed esplicita del problema di equilibrio membranale che abbiamo risolto, quello in cui, come accade nelle coperture pneumatiche per impianti sportivi, il guscio si sostiene per effetto della sovrapressione che viene creata all’interno.

I gusci costituiscono una classe di corpi continui tridimensionali nei quali due dimensioni prevalgono sulla terza, lo spessore; dal punto di vista geometrico, possono essere riguardati come regioni tridimensionali sottili, modellate su superfici. La superficie su cui un guscio viene modellato è detta superficie media; la geometria di una struttura a guscio ne risulta completamente determinata. L’idea che sottende tutta la meccanica delle strutture sottili, quindi anche qualunque teoria dei gusci, è quella che le equazioni che ne regolano il comportamento debbono risultare alquanto più semplici di quelle che occorrerebbe risolvere se li si considerasse corpi tridimensionali di forma particolare. Ovvio che ogni semplificazione si paghi in termini di dettaglio dell’informazione che si consegue: la difficoltà da affrontare e risolvere è conseguire un bilanciamento ottimo tra la complicazione residua del problema che si sa come risolvere, una volta effettuata la prescelta semplificazione del problema tridimensionale originale, e la rilevanza tecnica dell’informazione che la soluzione di quel problema semplificato fornisce.

Il metodo di attacco che adoperiamo per ottenere le equazioni della meccanica dei gusci è un metodo di deduzione sistematica dal problema tridimensionale che ha due caratteri distintivi: il primo, postulare una rappresentazione a priori del campo di spostamenti possibili (nel nostro caso, quella proposta da Kirchhoff e ripresa da Love), parametrizzata da poche funzioni di forma definite sulla superficie media; il secondo, ridurre per equipollenza alla superficie media sia i carichi applicati sia lo stato di sforzo del problema tridimensionale. Con questo metodo, le equazioni di equilibrio vengono formulate sulla superficie media in termini di due campi tensoriali, l’uno di sforzo l’altro di momento, che descrivono lo stato di sollecitazione interna; tramite equazioni costitutive tridimensionali che descrivono una risposta elastica lineare compatibile con i vincoli interni inerenti alla rappresentazione prescelta per il campo di spostamenti, quelle equazioni di equilibrio possono poi essere trasformate in un sistema di equazioni alle derivate parziali, che consentono di determinare tanto le funzioni parametro della rappresentazione che quelle eventuali componenti dello stato di sollecitazione interna che hanno natura di reazioni vincolari necessarie per mantenere la forma prescritta del campo di spostamenti.

Nel nostro caso, il sistema da risolvere è composto da cinque equazioni differenziali alle derivate parziali in cinque incognite scalari: i tre campi che parav metrizzano il campo di spostamenti di Kirchhoff-Love (due per gli spostamenti estensionali e uno per quelli flessionali) e i due che forniscono le componenti reattive del tensore di sforzo. Questo sistema non è in generale facilmente risolubile in forma chiusa. Si può tuttavia individuare un particolare stato di sollecitazione interna, il cosidetto regime membranale, in presenza del quale il campo tensoriale di sforzo, che si riduce alle sole tre componenti attive, è calcolabile senza dover introdurre il legame costitutivo. Inoltre, una delle tre equazioni di equilibrio non è di carattere differenziale, ma algebrico, mentre le due equazioni di bilancio dei momenti si riducono a condizioni di compatibilità sui carichi esterni. Per definizione, il regime membranale si ottiene quando il campo tensoriale di momento è nullo, così come le componenti reattive dello sforzo. Com’era da attendersi, restrizioni a priori così forti sul tipo di soluzioni del problema che si vuol risolvere non consentono di assegnare i dati liberamente: soluzioni del tipo cercato sono possibili soltanto se i carichi applicati soddisfano precise condizioni necessarie di compatibilità. Nel Capitolo 3, come anticipato, determiniamo la soluzione membranale del problema di equilibrio di un guscio cilindrico in pressione. L’aspetto particolarmente semplice di questa soluzione riduce il calcolo di una struttura siffatta all’applicazione di due formule molto semplici, che forniscono gli sforzi assiale e circonferenziale in termini di pochi parametri: raggio e spessore del guscio, pressione applicata, e modulo di Poisson del materiale impiegato.

Indice

1 Aspetti geometrici e cinematici 
   1.1 Regione a forma di guscio
   1.2 Richiami di Geometria Differenziale
   1.3 Richiami di Cinematica
2 Stato tensionale ed equilibrio
   2.1 Descrittori superficiali di sforzo e coppia
   2.2 Legame costitutivo
   2.3 Caratteristiche di sollecitazione
   2.4 Equazioni di bilancio in forma locale
      2.4.1 Considerazioni sul tensore di sforzo superficiale
   2.5 Regime di sforzo membranale
3 Gusci cilindrici
   3.1 Geometria e cinematica
   3.2 Equazioni di equilibrio
   3.3 Gusci cilindrici in pressione

Bibliografia

[1] L. Cedolin, Gusci cilindrici e sferici. Trave su suolo elastico – Appunti di lezione con la collaborazione di Gianluigi Bisi, Edizioni CUSL, Milano 1998.
[2] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, New Jersey 1976.
[3] P. Podio-Guidugli, Lezioni sulla teoria lineare dei gusci elastici sottili, Masson, Milano 1991.
[4] P. Podio-Guidugli, A Primer in Elasticity, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2000.
[5] S. Timoshenko, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill College, New York 1959.

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Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi Tesi di Laurea di Primo Livello

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