Definizioni di funzione continua
Definizione di funzione continua in un punto secondo Weierstrass
Sia
[math] \displaystyle f(x) [/math]
una funzione di dominio
[math] \displaystyle D \subset \mathbb{R} [/math]
, e sia
[math] \displaystyle c \in D [/math]
. Nel caso in cui
[math] \displaystyle c [/math]
è un punto di accumulazione di
[math] \displaystyle D [/math]
, diremo che la funzione
[math] \displaystyle f(x) [/math]
è continua in
[math] \displaystyle c [/math]
qualora risulti
[math] \displaystyle \begin{equation}\lim{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \, \, \, \, \, \text{(1)}\end{equation}[/math]
Se
[math] \displaystyle c [/math]
è un punto isolato di
[math] \displaystyle D [/math]
, diremo che
[math] \displaystyle f(x) [/math]
è continua in
[math] \displaystyle c [/math]
, senza ulteriori richieste sulla funzione.
Definizione di funzione discontinua in un punto
Se una funzione
[math] \displaystyle f(x) [/math]
non continua in
[math] \displaystyle c [/math]
, allora essa viene detta discontinua in
[math] \displaystyle c [/math]
.
Definizione di funzione continua
Se una funzione
[math] \displaystyle f(x) [/math]
è continua
[math] \displaystyle \forall c \in D [/math]
, allora la si definisce continua.
Definizione di funzione continua in un punto secondo Cauchy
Sia data una funzione
[math] \displaystyle f(x) [/math]
di dominio
[math] \displaystyle D [/math]
, e sia
[math] \displaystyle c [/math]
un punto di accumulazione per
[math] \displaystyle D [/math]
(non deve necessariamente risultare
[math] \displaystyle c \in D [/math]
.
Diremo allora che
[math] \displaystyle f(x) [/math]
è continua in
[math] \displaystyle c [/math]
se per ogni
[math] \displaystyle \epsilon \gt 0 [/math]
esiste un
[math] \displaystyle \delta \gt 0 [/math]
tale che, se
[math] \displaystyle |x -c| \lt \delta [/math]
, allora
[math] \displaystyle |f(x) - f(c)| \lt \epsilon [/math]
. In formule,
[math] \displaystyle \begin{equation}\forall\epsilon\gt 0 \exists\delta\gt 0: |x-c| \lt \delta \rightarrow |f(x) - f(c)| \lt \epsilon \, \, \, \, \, \text{(2)}\end{equation} [/math]
Osservazione
Affinché la relazione
[math] (1) [/math]
sia verificata necessario che la funzione
[math] \displaystyle f [/math]
assuma un valore in
[math] \displaystyle x = c [/math]
, ed è per questo che abbiamo richiesto
[math] \displaystyle c \in D [/math]
. Inoltre, si deve poter considerare il limite di
[math] \displaystyle f(x) [/math]
per
[math] \displaystyle x \rightarrow c [/math]
, e quindi deve esistere una successione di punti di
[math] \displaystyle D [/math]
che tende a
[math] \displaystyle c [/math]
: ciò è equivalente a richiedere che
[math] \displaystyle c [/math]
sia un punto di accumulazione per
[math] \displaystyle D [/math]
. Infine, nella
[math] \text{(1)} [/math]
si richiede l'uguaglianza tra il valore trovato come limite e quello della funzione in
[math] \displaystyle c [/math]
, fatto questo non scontato.
Osservazione
La definizione di Cauchy, che appare più difficile da capire di quella di Weierstrass, è stata creata molto tempo prima ed è in realtà ad essa del tutto equivalente. La
[math] \text{(2)} [/math]
afferma, in termini più chiari, che una funzione è continua se, e soltanto se, comunque si scelga una distanza
[math] \epsilon [/math]
è possibile trovare una distanza [maht] \delta [/math] tale che se
[math] \displaystyle x [/math]
non dista da
[math] \displaystyle c [/math]
più di
[math] \displaystyle \delta [/math]
allora
[math] \displaystyle f(x) [/math]
non dista da
[math] \displaystyle f(c) [/math]
più di
[math] \displaystyle \epsilon [/math]
. Ci lo stesso che dire che punti vicini hanno immagini vicine; quanto vicino sia considerabile abbastanza determinato dai valori di (\epsilon) e
[math] \displaystyle \delta [/math]
.
Esempi di funzioni continue e non continue
Esempio 1:
Parabola.
Il grafico rappresentato nell'immagine seguente quello di un ramo della parabola di equazione
[math] y = x^2 [/math]
, il cui dominio è
[math] D = \mathbb{R} [/math]
e che è continua in ogni punto. Verifichiamo ad esempio che essa è continua nel punto
[math] \displaystyle c = 2 [/math]
:
[math]\lim{x \rightarrow 2} f(x) = \lim{x \rightarrow 2} x^2 = 4 = 2^2 = f(2) [/math]
Esempio 2: Funzione polinomiale.
La proprietà vista nell'esempio precedente non è esclusiva della parabola. Tutte le funzioni polinomiali, cioè esprimibili nella forma
[math] \displaystyle y = p(x) [/math]
dove
[math] \displaystyle p(x) [/math]
è un polinomio nell'indeterminata
[math] \displaystyle x [/math]
, sono definite su tutto
[math] \displaystyle \mathbb{R} [/math]
e ivi continue. In particolare abbiamo che tutte le funzioni costanti, ovvero quelle del tipo
[math] \displaystyle y = k, k \in \mathbb{R} [/math]
, ed anche tutte le rette sono funzioni continue.
Esempio 3: Funzione discontinua con limiti infiniti.
Il prossimo grafico rappresenta la funzione
[math] \displaystyle y = 1/x [/math]
, cioè un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Il suo insieme di definizione
[math] \displaystyle D = \mathbb{R} - {0} [/math]
, quindi per forza di cose essa è discontinua nel punto
[math] \displaystyle c = 0 [/math]
. D'altra parte, si ha che
[math] \displaystyle \lim{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty \text{ , } \lim{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty [/math]
cosicché la
[math] \label{(1)} [/math]
non è verificata in due modi:
[math] \displaystyle c [/math]
non appartiene al dominio e non esiste il limite per
[math] \displaystyle x \rightarrow c [/math]
, visto che i limiti sinistro e destro non coincidono. In tutti i punti che appartengono a
[math] \displaystyle D [/math]
la funzione è invece continua.
Se esaminiamo la validità della definizione di continuità in un punto secondo Cauchy con
[math] \displaystyle c = 0 [/math]
, osserviamo che indipendentemente da quanto stretto attorno allo 0 si scelga un intervallo, esso conterrà sempre punti le cui immagini sono distanti a piacere. Quindi l'iperbole equilatera discontinua in 0 anche secondo Cauchy.
Esempio 4: Funzione discontinua con limiti finiti.
Nell'immagine che segue è rappresentato il grafico della funzione
[math] \displaystyle y = \frac{x\cos x}{|x|} [/math]
. Si prova con facilità che la funzione in esame non è continua in
[math] \displaystyle c = 0 [/math]
, dal momento che
[math] \displaystyle \lim{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x\cos x}{|x|} = -1 \text{ , } \lim{x\rightarrow 0^{+}} \frac{x\cos x}{|x|} = +1 [/math]
e dunque non esiste il limite richiesto dalla [math] \text{(1)}), perché come nell'esempio precedente i limiti sinistro e destro non coincidono, anche se in questo caso essi sono finiti.
Osservazione
Dagli esempi precedenti emerge un'osservazione che può spesso aiutare nello studio delle funzioni continue, e cioè che una funzione è continua se e solo se il suo grafico può essere disegnato senza mai alzare la matita dal foglio; si tenga per conto che questo modo di vedere la definizione di continuità non è rigoroso e può trarre in inganno.
