Scheda che introduce i concetti generali di insieme, elemento, appartenenza, non appartenenza, uguaglianza, insieme vuoto e cardinalità con i loro simboli, più il concetto di insieme finito e di insieme infinito. La scheda è corredata di diversi esempi.
Il concetto di insieme
In Matematica non si dà una vera e propria definizione di insieme ma se proprio se ne volesse dare una si potrebbe dire che:
(Pseudo) Definizione
Un insieme è una collezione di elementi determinato da una precisa regola che ci permette di stabilire se un elemento appartiene all’insieme, o se invece non vi appartiene.
Osservazione
Questa definizione non è una buona definizione perché è stato utilizzato il termine “collezione”, che è proprio un sinonimo di “insieme”!
Simboli
Un generico insieme si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto.
Esempi
\( A \) è l’insieme delle lettere dell’alfabeto;
\( M \) è l’insieme dei matematici;
\( N \) è l’insieme dei numeri naturali;
Il concetto di elemento
Gli elementi sono ciò di cui “sono fatti” gli insiemi. Anche in questo caso non si dà una definizione.
Simboli
Un generico elemento di un insieme si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto; un numero viene indicato semplicemente come numero.
Esempi
Se \( A \) è l’insieme delle lettere dell’alfabeto, a, b, c sono elementi di \( A \).
Gauss è un elemento di \( M \); possiamo anche indicare “Gauss” con una lettera minuscola come \( g \);
5 è un elemento di \( N \);
Osservazione
Il concetto di elemento e quello di insieme sono distinti in quanto il secondo è una “collezione” dei primi, però non sempre questa distinzione è necessaria: se per esempio consideriamo un insieme formato da altri insiemi, come l’insieme \( V \) dei videogiochi divisi per tipologia, l’insieme \( S \) dei videogiochi sportivi si può effettivamente considerare un elemento di \( V \).
Appartenenza e non appartenenza
Un elemento può appartenere o non appartenere a un insieme. Anche per i concetti di appartenenza e di non appartenenza non si dà una definizione.
Simboli
Se un elemento \( x \) appartiene a un insieme \( A \), si scrive che \( x \in A \).
Se un elemento \( x \) non appartiene a un insieme, si scrive che \(x \not\in A \).
Esempi
Con le notazioni degli esempi precedenti si può scrivere che
a \( \in A \), b \( \in A \), c \( \in A \), dove \( A \) è l’insieme delle lettere dell’alfabeto
\( g \in M \), dove \( M \) è l’insieme dei matematici e \( g \) rappresenta il matematico Gauss
\( 5 \in N \), dove \( N \) è l’insieme dei numeri naturali.
Insiemi uguali
Un insieme è completamente definito dai suoi elementi.
Definizione
Si dice che due insiemi \( A \) e \( B \) sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. In tal caso si scrive \( A = B \).
Insieme vuoto
Definizione
Si definisce insieme vuoto, e si indica con \( \varnothing \), l’insieme che non ha elementi.
Osservazione
Se consideriamo ad esempio gli insiemi \( A \) dei numeri primi multipli di 4 e \( B \) dei continenti che iniziano per “z”, essi formalmente hanno gli stessi elementi, e dunque sono uguali. Siccome questo discorso si può ripetere per qualsiasi numero di insiemi che non contengono nessun elemento, si conclude che l’insieme vuoto è unico.
Cardinalità
Definizione
Si definisce cardinalità di un insieme \( A \), e la si indica con \( | A | \), il numero di elementi di \( A \).
Esempi
Se indichiamo con \( V \) l’insieme delle vocali del nostro alfabeto, avremo che \( | V | = 5 \).
Se indichiamo con \( P \) l’insieme dei numeri primi pari, avremo che \( |P| = 1 \).
Insiemi finiti e infiniti
Definizione
Si definisce insieme finito un insieme la cui cardinalità è un numero naturale. Se un insieme non è finito, si dice che esso è infinito.
Esempi
Con le notazioni degli esempi precedenti, insiemi come \( A \), \( M \), \( V \) e \( P \) sono finiti. Insiemi come \( N \) sono invece infiniti.
Altre fonti utili
Guarda la videolezione sugli insiemi
ed esegui il test sugli insiemi.
Per approfondire ulteriormente l’argomento consulta il capitolo relativo agli insiemi del libro Matematica C3: Algebra 1. Se vuoi invece conoscere la terminologia inglese sugli insiemi visita il sito mathisfun.com.