Studiare il carattere della seguente serie
[math]\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}} \frac{1}{\sqrt{n^3 - n}}[/math]
Dato che
[math]\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}} \frac{\frac{1}{\sqrt{n^3 - n}}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} = \displaystyle{\lim_{n \to +\infty}} \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 - n^{-\frac{1}{2}}}} = 1[/math]
allora
[math]\frac{1}{\sqrt{n^3 - n}} \sim \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/math]
La serie armonica
[math]\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}} \frac{1}{n^{\alpha}}[/math]
converge per
[math]\alpha > 1[/math]
, quindi anche
[math]\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/math]
di conseguenza la serie proposta converge per il criterio del contronto asintotico.
FINE
