Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti
[math](-2;0), (0;1), (0;-1)[/math]
. Svolgimento Indichiamo i tre punti
[math](-2;0), (0;1), (0;-1)[/math]
con [math]A, B, C[/math]
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento di tre punti di coordinate [math](x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)[/math]
è: [math](y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)[/math]
Quindi occorrerà verificare che sia [math](y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)[/math]
, ovvero [math](-1-0)/(1-0)!=(0+2)/(0+2) => -1!=1[/math]
. Essendo vera la relazione
[math]-1!=1[/math]
, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati. Consideriamo ora l'equazione di una circonferenza generica [math]x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0[/math]
; se vogliamo che la curva passi per i punti [math]A,B,C[/math]
dobbiamo imporre che le coordinate di questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con [math]\delta[/math]
la circonferenza cercata, avremo [math]A(-2;0) in \delta => (-2)^2+0^2+(\alpha) \cdot (-2)+(\beta) \cdot 0+\gamma=0 => 4-2alfa+\gamma=0[/math]
. [math]B(0;1) in \delta => 0^2+1^2+(\alpha) \cdot 0+(\beta) \cdot 1+\gamma=0 => 1+\beta+\gamma=0[/math]
. [math]C(0;-1) in \delta => 0^2+(-1)^2+(\alpha) \cdot 0+(\beta) \cdot (-1)+\gamma=0 => 1-\beta+\gamma=0[/math]
. Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
[math]\egin{cases} 4-2alfa+\gamma=0 \\ 1+\beta+\gamma=0 \\ 1-\beta+\gamma=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} alfa=(4+\gamma)/2 \\ \gamma=-1-\beta \\ 1-\beta-1-\beta=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} alfa=(4-1)/2=3/2 \\ \gamma=-1-0=-1 \\ 2\beta=0 => \beta=0 \ \end{cases}[/math]
; Perciò sostituendo i valori trovati nell'aquazione generica si ha:
[math]x^2+y^2+3/2x-1=0[/math]
Il m.c.m. è [math]2[/math]
[math](2x^2+2y^2+3x-2)/2=0[/math]
moltiplichiamo ambo i membri per [math]2[/math]
[math]2x^2+2y^2+3x-2=0[/math]
Quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per i punti [math](-2;0), (0;1), (0;-1)[/math]
.
