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Studio di un fascio di curve$(a-1)x^2+2y^2-(5-a)x+ay+a-2=0$

E'dato il fascio di curve di equazione

$(a-1)x^2+2y^2-(5-a)x+ay+a-2=0$

Stabilire per quali valori del parametro $a$ il fascio rappresenta

1)Una circonferenza

2)Una parabola con asse verticale

3)Una parabola con asse orizzontale

4)Una retta

5)Una curva passante per l'origine


1)

Scriviamo l'equazione generale dell circonferenza

$x^2+y^2+ax+by+c=0$

Perciò, il fascio di curve rappresenta una circonferenza se e solo se i coefficienti dei termini al quadrato sono uguali.

Imponendo questa condizione, avremo

$a-1=2$

ovvero

$a=3$

Per questo valore, dal fascio si ottiene una circonferenza.

 

2)

Scriviamo l'equazione generale di una parabola con asse verticale

$y=ax^2+bx+c$

ovvero

$ax^2+bx+c-y=0$

Osserviamo che questo tipo di equazione non contempla un termine $y^2$.

Pertanto, occorre che nemmeno il nostro fascio abbia il termine $y$ al quadrato.

Notiamo però che non è possibile annullare $y^2$: infatti il parametro $a$ non lo influenza, l'unico parametro di $y^2$ è $2$, che pertanto resta tale; qualsiasi valore $a$ assuma, il termine $2y^2$ rimarrà.

Concludiamo dicendo che non è possibile ottenere parabole con asse verticale

 

3)L'equazione di una parabola a asse orizzontale è

$x=ay^2+by+c$

ovvero

$ay^2+by+c-x=0$

Il termine che non è presente è $x^2$.

Pertanto, il nostro fascio rappresenta una parabola quando

$a-1=0$

ovvero

$a=1$

 

4)

L'equazione generale di una retta è

$ax+by+c=0$

Affinchè il fascio contenga una retta, deve essere possibile che CONTEMPORANEAMENTE siano annullati i termini $x^2$ e $y^2$.

Ciò però non è possibile, dato che comunque un termine (quello in $y^2$) non sarà mai annullato, come mostrato nel punto 2).

 

5)

Come sappiamo, una curva passa per l'origine quando il termine noto è nullo.

Il nostro termine noto, parametrico, è

$a-2$

perciò se

$a-2=0$

ovvero

$a=2$

la nostra curva passa per l'origine.

 

FINE

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