Dilemma del viaggiatore

[Admin]

Su Le Scienze (versione on line) leggo questa notizia.
http://lescienze.espresso.repubblica.it ... lo/1309086
Chi conosce "il dilemma del viaggiatore"?

[Fioravante Patrone]

io


tra l'altro Basu, quello che scrive l'articolo sulle Scienze (numero d'agosto) è quello che l'ha inventato

se volete, anche qui possiamo fare un giochino come pe la "voluntary contributions"

[Admin]

Proviamo, anche se ci sono le ferie di mezzo, magari si va più a rilento.
In effetti, non mi ricordavo di aver letto questo dilemma.

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...e sarebbe anche opportuna una formulazione più precisa del problema: a me non è chiaro

[Cozza Taddeo]

...e sarebbe anche opportuna una formulazione più precisa del problema: a me non è chiaro

Neppure a me. Non vedo perché una persona dovrebbe scegliere un numero prossimo a 100, io avrei scelto 2 secco...

[Fioravante Patrone]

Dilemma del viaggiatore

Due prof universitari di fisica, in missione per ragioni di servizio, devono fare un tratto a cammello. Il cammelliere, alla fine del viaggio, non consegna loro la ricevuta del corrispettivo in quanto, prima che riescano a farsi capire, è obbligato a andare via di corsa per una urgenza. Naturalmente i due si dividono la spesa totale in parti uguali (anche perché ciascuno ha usato un cammello...).

Al ritorno, il direttore del dipartimento si dimostra disponibile a rimborsare loro anche questa spesa, solo che, preoccupato che provino a farci la "cresta", propone loro il seguente gioco:

Ognuno dei due, segretamente dall'altro (e senza potersi consultare, s'intende!) scriverà su un foglio un numero intero compreso fra $2$ e $5$. Il cui significato è quanto ha pagato effettivamente ciascuno per il tratto in cammello (che, ripeto, è pari alla metà di quanto ha chiesto il cammelliere).

Poi, se avranno scritto lo stesso numero, essi verranno rimborsati, presumendo che la loro dichiarazione corrisponda a quanto hanno effettivamente pagato.

Se invece avranno scritto due numeri diversi, verrà loro rimborsato il numero più basso indicato. Non solo, chi avrà scritto il numero più basso avrà anche 2 euro in più (per l'onestà dimostrata), mentre chi ha scritto il numero più alto riceverà due euro in meno (del numero più basso, s'intende!). Ad esempio, se uno scrive 2 e l'alto 3, il primo ottiene 4 e il secondo 0.

Voi cosa scrivereste su foglietto?


Per "facilitare" le cose (è un forum di matematica...) scrivo sotto la "game form" del gioco che ho descritto a parole.


$(( I \ \\ \ II \ \vdots,t_2,t_3,t_4,t_5),(\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots),(\ \ \ s_2 \ \ \ \vdots,2 \ 2,4 \ 0,4 \ 0,4 \ 0),(\ \ \ s_3 \ \ \ \vdots,0 \ 4,3 \ 3,5 \ 1,5 \ 1),(\ \ \ s_4 \ \ \ \vdots,0 \ 4,1 \ 5,4 \ 4,6 \ 2),(\ \ \ s_5 \ \ \ \vdots,0 \ 4,1 \ 5,2 \ 6,5 \ 5))$

Ho indicato con $s_i$ le strategie del giocatore $I$ e con $t_j$ quelle di $II$. I numeri presenti nelle celle indicano quanto euro vanno rispettivamente al giocatore $I$ e al giocatore $II$. Nell'esempio fatto sopra, si intende che $I$ sceglie $s_2$ (che sta ad indicare che $I$ ha scritto $2$ sul suo foglietto) e $II$ sceglie $s_3$. Pertanto, nella cella all'incrocio fra la riga $s_2$ e la colonna $t_3$ troviamo la coppia di numeri $4 \ 0$, ad indicare che il giocatore $I$ riceve $4$ euro e il giocatore $II$ $0$.



Come "buona abitudine", vi chiederei di usare lo spoiler per indicare la vostra scelta ed anche la eventuale motivazione (se vorrete).



Nota finale: naturalmente il dilemma può essere generalizzato, lasciando la scelta fra $2$ ed un qualunque numero naturale $n$ che si voglia usare. Magari anche $100$...

Se preferite giocare con la versione che ci sarà su "Le Scienze", non c'è problema!

[Admin]

Ho un dubbio
ma se io ho realmente pagato il cammello so esattamente quanto ho pagato
metterei esattamente quella somma
così non faccio figuracce con il direttore

[Fioravante Patrone]

è una prima osservazione pertinente

tra l'altro mette in evidenza che, nel problema come l'ho descritto io, manca il "dato" di quanto sia stato pagato effettivamente il cammello

ne attendo, eventualmente, altre

e, magari, se posso mi leggo l'articolo in rete

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Dilemma molto interessante! La mia risposta:

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Scelgo di scrivere sul foglietto: $2$

La mia scelta, però, non è certamente dovuta al fatto che $(s_2, t_2)$ è un equilibrio di Nash. Non vedo perché la scelta razionale dovrebbe essere necessariamente l'equilibrio di Nash . Certamente se il gioco finisce con un equilibrio di Nash, entrambi i giocatori hanno giocato "bene", perché ognuno ha scelto la miglior risposta alla decisione dell'altro. Non penso, tuttavia, che la scelta di scrivere $3$ sarebbe stata meno "razionale".

Ciò che mi ha veramente orientato verso il $2$ è il fatto che così avrei avuto una vincita garantita di $2$, mentre negli altri casi non l'avrei avuta. Inoltre, in termini probabilistici di valore atteso mi sembra una buona scelta. Tuttavia, la mia motivazione è evidentemente arbitraria e un'altra scelta sarebbe stata ragionevole. Quindi direi che nella mia metà dell'equilibrio di Nash ci sono cascato un po' per caso, e penso che sia importante evidenziare questo fatto.

[Admin]

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2, se va male prendo 2, se va bene prendo 4, che è quasi il massimo