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Derivate

Definizione

 

Una funzione $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ si dice derivabile in $x_0 \in (a, b)$ se e solo se
 
$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}$
 
esiste finito. In tal caso il risultato del limite si dice derivata prima di $f$ in $x_0$, e si indica con uno di questi simboli
 
$f'(x_0) \qquad \frac{df}{dx}(x_0) \qquad D[f](x_0) \qquad \dot{f}(x_0)$
 

Proprietà della derivata e regole di derivazione

 
Linearità
 
$(f \pm g)’ = f’ \pm g’ \qquad$ (additività)
 
$(c \cdot f)’ = c \cdot f’ \qquad \forall c \in \mathbb{R} \qquad$ (omogeneità)
 
Esempio: $(5 \sin(x) + 6 \cos(x))’ = (5 \sinx(x))’ + (6 \cos(x))’ = 5 (\sin(x))’ + 6 (\cos(x))’ = 5 \cos(x) – 6 \sin(x)$
 
Derivata di un prodotto
 
$(f \cdot g)’ = f’ \cdot g + f \cdot g’$
 
Esempio: $(x \cos(x))’ = (x)’ \cdot \cos(x) + x \cdot (\cos(x))’ = 1 \cdot \cos(x)  + x (-\sin(x)) = \cos(x) – x \sin(x)$
 
Derivata di un quoziente
 
$(\frac{f}{g})^’ = \frac{f’ \cdot g – f \cdot g’}{g^2}$
 
Esempio: $(\frac{x^2}{\ln(x)})^’ = \frac{(x^2)’ \cdot \ln(x) – x^2 \cdot (\ln(x))’}{\ln^2(x)} = \frac{2x \ln(x) – x^2 \frac{1}{x}}{\ln^2(x)} = \frac{2x \ln(x) – x}{\ln^2(x)}$
 
Derivata del reciproco
 
$(\frac{1}{g})^’ = – \frac{g’}{g^2}$
 
Esempio: $(\frac{1}{"tg"(x)})^’ = – \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{"tg"^2(x)} = -\frac{1}{(1 + x^2) "tg"^2(x)}$
 
Derivata di una funzione composta
 
$(g \circ f)’ = g'(f(x)) \cdot f'(x)$
 
Esempio: $(\sqrt{\sin(x)})^’ = \frac{1}{2 \sqrt{\sin(x)}} \cdot (\sin(x))’ = \frac{1}{2 \sqrt{\sin(x)}} \cdot \cos(x)$
 
Derivate di funzioni del tipo $f(x)^{g(x)}$
 
$(f(x)^{g(x)})’ = (e^{g(x) \ln(f(x))})^’ = f(x)^{g(x)} \cdot (g'(x) \ln(f(x)) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)})$
 
Esempio: $(x^x)^’ = x^x ((x)’ \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{(x)’}{x}) = x^x (\ln(x) + 1)$
 
Derivata di un valore assoluto
 
$|f(x)|^’ = "sgn"(f(x)) \cdot f'(x)$
 
Esempio: $|x|’ = "sgn"(x)$ (notare che in $x=0$ la funzione $|x|$ non è derivabile)
 
Derivata della funzione inversa
 
Sia $f: A \to B$ una funzione invertibile e sia $g: B \to A$ la sua inversa. Vale $g(f(x)) = x \quad \forall x \in A$ e $f(g(y)) = y \quad \forall y \in B$; se $f$ è derivabile in $x$ e $f'(x) \ne 0$ allora
 
$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$
 

Tavola delle derivate fondamentali

 

$f(x)$$f'(x)$ 
$c$ (costante) 
$x$$1$  
$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{x^2}$  
$x^{a}$$a x^{a – 1}$ $a \in \mathbb{R}$ 
$e^x$$e^x$  
$a^x$$a^x \ln(a)$ $a \in \mathbb{R}^+$
$\ln(x)$$\frac{1}{x}$  
$\log_{a}(x)$$\frac{1}{x \ln(a)} = \frac{1}{x} \log_a(e)$ $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ 
$\sin(x)$$\cos(x)$  
$\cos(x)$$-\sin(x)$  
$"tg"(x)$$\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + "tg"^2(x)$  
$"cotg"(x)$$-\frac{1}{\sin^2(x)} = -1 – "cotg"^2(x)$  
$"arcsin"(x)$$\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$  
$"arccos"(x)$$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$  
$"arctg"(x)$$\frac{1}{1 + x^2}$  
$"arccotg"(x)$$-\frac{1}{1 + x^2}$  
$\sinh(x)$$\cosh(x)$  
$\cosh(x)$$\sinh(x)$  
$"tgh"(x)$$\frac{1}{\cosh^2(x)} = 1 – "tgh"^2(x)$  
$"cotgh"(x)$ $-\frac{1}{\sinh^2(x)} = 1 – "cotgh"^2(x)$  
$"settsinh"(x)$$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$  
$"settcosh"(x)$$\frac{1}{\sqrt{x^2 – 1}}$   
$"setttgh"(x)$ $\frac{1}{1 – x^2}$  
$"settcotgh"(x)$$\frac{1}{1 – x^2}$  

 

 
 
 
 
 
 
 

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