(30 punti)

6' di lettura

4,3 / 5 (3)

In questo appunto si descrivono le disequazioni fratte. Le disequazioni possono essere definite come una disuguaglianza fra due espressioni, possono essere di due tipologie: lineari e fratte. La differenza tra le due tipologie risiede nella posizione dell'incognita. Vengono definite lineari quelle disequazioni la cui incognita non compare al denominatore ma solamente al numeratore, nel caso in cui l'incognita compaia anche al denominatore, allora, la disequazione è fratta.

Nel caso delle disequazioni fratte dobbiamo effettuare un passaggio in più: studiare il segno della disequazione.

In generale, le disequazioni fratte sono delle disequazioni del tipo

[math] \frac{N(x)}{D(x)} \ge 0 [/math]

, o

[math] \frac{N(x)}{D(x)} > 0 [/math]

, o

[math] \frac{N(x)}{D(x)} , o

[math] \frac{N(x)}{D(x)} \le 0 [/math]

Dopo aver effettuato questa distinzione passiamo al loro svolgimento.

Esempi di disequazioni fratte - Esempio 1

[math]\frac{x^2-4}{1+x} \ge 0[/math]

I passaggi da effettuare sono i seguenti:

Dovendo determinare il segno del numeratore e del denominatore dobbiamo porre sia il numeratore che il denominatore maggiori o uguali di zero.
Poniamo il numeratore maggiore o uguale di zero (questo va fatto a prescindere dal segno della disequazione) e il denominatore strettamente maggiore in quanto l'espressione trovandosi al denominatore non può assumere un valore pari a zero altrimenti la disequazione perderebbe di significato.
Quindi, procediamo come segue:
Numeratore
[math]x^2-4 \ge 0[/math]
Denominatore
[math]1+x > 0[/math]
La disequazione al numeratore è una disequazione di secondo grado. Per questo va risolta l'equazione associata:
[math]x^2-4=0[/math]
che ha come soluzioni
[math]+2, -2[/math]
. Rappresentando la parabola corrispondente all'equazione del numeratore, notiamo che, essendo il coefficiente di
[math]x^2[/math]
positivo, essa ha la concavità rivolta verso l'alto, per questo è positiva da -2 a sinistra e da +2 a destra. Pertanto le soluzioni della prima disequazione sono
[math]x \le -2 \vee x \ge +2[/math]
.
Per approfondimenti sulla parabola, vedi anche qua.
La disequazione al denominatore ha come soluzione, invece, semplicemente
[math]x > -1[/math]
in quanto basta spostare il +1 a destra.
Riassumendo possiamo dire che, per lo studio del segno, le soluzioni sono le seguenti:

[math] x \le - 2 \vee x \ge + 2[/math]

[math] x > -1 [/math]
Una volta che abbiamo determinato queste condizioni non ci resta che studiare il segno della disequazione e vedere quando assume valori maggiori di zero come indicato dal segno della stessa.
Facendo il relativo schema, quindi, ponendo in ordine crescente i valori e individuando la positività e la negatività, si osserva che l'intervallo
[math]]-\infty, -2] [/math]
è negativo, l'intervallo
[math][-2, -1[[/math]
è positivo, l'intervallo
[math]]-1, +2][/math]
è negativo mentre l'intervallo
[math][+2, +\infty[[/math]
è positivo.
In definitiva la soluzione della disequazione è
[math]-2 \le x .

Esempi di disequazioni fratte - Esempio 2

[math]\frac{x^2+5}{x^2-9}
In questo caso, sebbene il segno della disequazione sia minore, come è già stato premesso precedentemente, il denominatore e il numeratore vanno sempre e comunque posti maggiori (o maggiori o uguali a seconda dei casi) di 0.
In questo caso non è previsto il trattamento dei casi di uguaglianza quindi porremo il numeratore e il denominatore maggiori di 0.
Quindi, procediamo così:
Numeratore
[math]x^2+5 > 0[/math]
Denominatore
[math]x^2-9 > 0[/math]
Sia al numeratore che al denominatore, in questo caso, abbiamo delle disequazioni di secondo grado.
Partiamo dalla prima.
Risolviamo prima di tutto l'equazione associata
[math]x^2+5=0[/math]
, che non ha soluzioni in quanto
[math]\Delta , o, più semplicemente, non esiste nessun numero reale
[math]x[/math]
tale che
[math]x^2=-5[/math]
poiché il quadrato è sempre positivo. La parabola corrispondente, avente coefficiente di secondo grado strettamente positivo, non avrà intersezioni con l’asse
[math]x[/math]
e sarà sempre rivolta con la concavità verso l’alto, quindi, in sintesi, il numeratore è sempre positivo.
Vediamo ora la disequazione del denominatore. L’equazione associata
[math]x^2-9=0[/math]
ha come soluzione
[math]x=+3, x=-3[/math]
. La parabola in questione ha la concavità rivolta verso l’alto e interseca l’asse
[math]x[/math]
nei punti
[math] (3,0) [/math]
e
[math] (-3, 0) [/math]
. Per questo il denominatore sarà positivo da
[math]-3[/math]
verso sinistra, e da
[math]+3[/math]
verso destra.

Riassumendo, si ha che il numeratore è sempre positivo per ogni
[math] x [/math]
reale, il denominatore invece è maggiore di zero per
[math] x +3[/math]
.
In questo caso, fare il grafico dei segni è forse superfluo in quanto basta osservare che la linea corrispondente al numeratore sarebbe sempre continua, quindi il segno della frazione dipende, in questo caso, unicamente dal denominatore.
La soluzione della nostra disequazione fratta è quindi
[math] x +3 [/math]
.
Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua